高等数学（部分）

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【2】高等数学

• 多元函数微分学
  • 计算题
    • 多元函数极限与连续
      • 常见题型
        • 极限
          • 分母不为0，直接带入
          • 分母为0，等价无穷小/四则法则...
          • “1”的无穷次方：e的lim往里走，指重复，底减1
          • “0”乘有界极限为0
          • 二重极限
          • 二次极限
            • 固定变量x，先求y的极限，再求x的极限
            • “存在”加“存在”一定极限存在
            • “存在”加“不存在”一定极限不存在
            • “不存在”加“不存在”无法判断
        • 证明连续
          • 极限等于函数值
            • “分子是分母的一部分”，“0”乘有界极限为0
            • 极坐标换元：x=rcosα，y=rcosα
          • 极限不存在
            • 单路径法
            • 双路径法
            • y=kxp路径法
            • 极坐标换元法
      • 秒杀技巧
    • 求偏导数&二阶偏导数
      • 偏导数
        • 将y看成常数，对x求导
        • 将y看成常数，对x求导
        • 轮换对称性
      • 二阶偏导数
      • 求具体坐标的偏导数
        • 先求偏导函数，再代值
        • 代入一个变量降维，再求导，最后代值（首选）
    • 求全微分
    • 抽象多元复合函数求偏导数
      • 链式求导法则
      • 二阶混合偏导数连续则相等
      • 完全相同的复式结构
    • 隐函数求偏导数
      • 一阶偏导数
        • 直接法：等号两边对x求导，把y看成常数，z看成x和y的函数
        • 公式法：移项化为F（x,y,z）,则z对x的偏导为负（F对x的偏导除以F对z的偏导）（x，y，z看成常数）（强烈推荐）
        • 全微分形式不变性
      • 二阶偏导数
        • 直接法
      • ”方程组“确定的隐函数求偏导
    • “复合+隐函数”求偏导
      • 首先：公式法确定偏导表达式
      • 最后：利用链式求导法则具象偏导表达式
    • 求多元函数求极值
      • 首先：令x和y的偏导数等于0，得到四组驻点（四组：x和y分别两组值的组合）（驻点：可能的极值点）
      • 其次：求对xx，xy，yy的偏导
      • 其次：带入四组驻点，等到Ai，Bi，Ci（i=1，2，3）
      • 最后：判断AiCi-Bi2（Bi的平方）的正负。若为正，则取得极值，且A<0时取得极大值，A>0时取得极小值；若为负，则不取得极值；若为0，则无法判断
    • 求多元函数条件极值
      • 拉格朗日乘数法
        • • 注意：二元函数的最值不一定在驻点上产生
        • • 注意：可以根据需要对目标函数做一定处理
      • 约束消元（能用则用）（注意定义域）
      • 求多元连续函数在有界闭区间上的最值
        • 区域内：求无条件极值点（无需验AC-B2）
        • 边界上：求条件极值点（拉格朗日乘数法或约束消元）
        • 最后：计算以上各点的函数值，得出最值
    • 判断二元函数在分断点处是否可以偏导
      • 本质是求某点处的偏导：先代后导
    • 判断二元函数在某点处是否可微
      • dz=Adx+Bdy+o(x,y)
  • 概念题
    • 偏导/连续/微分/方向导数的关系
    • 隐函数存在定理
• 二重积分
  • 计算二重积分
  • 交换二次积分顺序
  • 求圆域上的二重积分
    • • 首先：画出圆域，并对二重积分利用”对称性化简
      • 其次：利用极坐标换元，写出极坐标下的积分限（先α后r）（注意：rdrdα）
      • 最后：依次计算内外层积分
        • 计算技巧（α与r分别只在两个积分中出现时成立）
  • 轮换对称性
  • 注意：“轮换”对称性只要求积分域D关于y=x对称，对f无要求；而求圆域上的二重积分利用的对称性对积分域D的对称性和f的奇偶性都有要求
  • 计算分段函数的二重积分
    • 首先：根据要求画出分割线将积分域分为D1和D2
    • 最后：计算两个两重积分的值
• 无穷级数
  • 基本性质
  • 利用定义判定级数敛散性
    • 求和再极限
      • 若存在极限，则收敛
      • 若不存在极限，则发散
  • 利用判定法判断级数敛散性
    • 正项级数
      • 通项非负的级数称为正项级数
      • 比较判别法的原始形式：对于两个大小不同的正项级数，有“大收小必收，小发大必发”
      • 比较判别法的极限形式
        • 原理
        • 方法
          • “抓大头”
      • 其他三种重要判别法
      • 任意项级数
        • 定义：各项为任意实数的级数称为任意项级数
        • 绝对收敛
          • 若从1至n求和的|Un|收敛，则从1至n求和的Un绝对收敛
        • 条件收敛
          • 若从1至n求和的Un收敛，但从1至n求和的|Un|发散，则从1至n求和的Un条件收敛
    • 交错级数
      • 莱布尼茨判别法
    • 常用结论
      • 若Un在n趋向于无穷时极限不为0，则发散
    • p-级数
      • 调和级数发散
    • 几何级数
      • 求和为首项/（1-公比）
    • 广义p-级数
      • • 注意：广义p-级数从n=2开始
    • 幂级数
      • 求收敛域
        • 先确定收敛区间，再代入端点确定收敛域
          • 指数为n时
          • 指数不为n时（如2n-1等）(也叫做缺项)
      • 求和函数
      • 求幂级数展开式
• 微分方程
  • 可分离变量型
    • dy/dx=f(x)g(y)
      • 首先：整理为dy/g(y)=dx/f(x)
      • 最后：等号两端对y，x积分，可得通解（含一个独立常数C）
  • 齐次方程
    • dy/dx=f(y/x)
      • 首先：令u=y/x，则dy/dx=u+xdu/dx（即对ux求关于x的偏导）
      • 其次：解关于u（x）的可分离变量方程
      • 最后：代入u=y/x，得到y（x）
  • 一阶线性微分方程
    • y'+p(x)y=q(x)
      • 首先：整理形式，确定p(x)和q(x)
      • 其次：套用公式
  • 积分方程
    • 存在变限函数
      • 首先：两端对x求导，得到微分方程
      • 其次：求微分方程的通解
      • 最后：根据条件一定可以锁定初始条件，带入得到特解
  • x(y)型方程
    • 发现一阶线性微分方程、可分离变量、齐次方程都无法有效解决时，可考虑主客颠倒
  • 可降阶的二阶微分方程
    • y''=f(x,y')型
      • 首先：令p(x)=y'，则或y''=f(x,y')变为p'=f(x,p)
      • 最后：解得p=g(x,C1)，积分得到y(x)
    • y''=f(y,y')型
      • 首先：令p(x)=y'，则y''=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=pdp/dy
      • 最后：略
  • 二阶常系数线性齐次微分方程
    • y''+p(x)y'+q(x)y=0
      • 特征值法
  • n阶常系数线性其齐次微分方程
  • 二阶常系数线性非齐次微分方程
    • y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)
      • 首先：求齐次微分方程得到通解Y
      • 其次：设非齐次微分方程得特解为y*，代入方程求出待定系数
        • 若r(x)=Pm(x)erx（e得rx次方），则y*=xkQm(x)erx（xk表示x的k次方）
          • Pm(x),r和特征根a1,a2已知
          • 需要确定：Qm(x)（系数待定的x的m次多项式）和k（r与特征根的重数）
      • 最后：非齐通y=非齐特Y+齐通y*