张宇高数（函数极限与连续）

这是一篇关于张宇高数（函数极限与连续）的思维导图，包含定义与使用、函数极限的计算、函数极限的存在性、连续与间断等内容。

函数极限与连续

• 定义与使用
  • 定义
  • 使用（5个考点）
    • 是常数
      • 极限只要存在，即可看成常数
    • 唯一性
      • 左极限=右极限
    • 局部有界性
      • f(x)在 [a,b]上连续，就有界
      • f(x)在 (a,b)上连续，且要在a+和b-处极限存在，才有界
    • 局部保号性
      • x→∙时，极限＞0（<0）Þ函数＞0（<0）
      • x→∙时，函数 ³0 （£0）Þ极限³0（£0）
    • 等式脱帽法
      • f(x）=A+a，其中lima=0
        • 已知一个极限求另一个极限，可考虑该法
• 函数极限的计算
  • 七种未定式
    • 第一组
      • 0/0
      • ∞/∞
      • ∞∙0
    • 第二组
      • ∞-∞
        • 有分母则通分
        • 无分母倒代换“x=1/t”
    • 第三组
      • ∞^0
      • 0^0
      • 1^∞
        • 常考：lim(u^v)=e^{limv(u-1)} [x→0]
  • 化简
    • 等价无穷小替换
      • x→0时常用等价公式
      • α=o（β），则α+β∽β
    • 恒等变形
      • 提取公因式
        • 见到指数函数、幂指函数相减
      • 换元
        • “x=1/t”
        • “x-t=u"“xt=u" "x^2×t^2=u"
          • 用于x与t不可拆分时
      • 通分
      • u^v=e^(vlnu)
      • 用公式
        • 因式分解
        • 分子有理化（见根号差用有理化）
      • 中值定理
        • 拉氏中值定理
        • 莱布尼兹公式
        • 1.见到f和f' 2.见到f-f
        • 积分中值定理
          • 1.见到抽象积分先用下再说
          • 2.往往为了统一形式
        • 泰勒公式
          • 用于处理高阶问题
    • 及时提出不为0的因式
  • 洛必达法则
    • 使用条件
      • 0/0型或∞/∞型
      • 分子分母皆可导
      • 结果为0、c（≠0)、∞
    • 内容
      • 普通求导
      • 变上限积分求导
      • 上限是函数的变上限积分求导
  • 泰勒公式（x→0）
    • 常用公式
    • 展开原则
      • A/B型 “上下同阶”
      • A-B型 “幂次最低”
  • 无穷小比阶（题型)
    • 常见考题：泰勒展开、给三个比较大小
    • 高阶无穷小
    • 同阶无穷小
    • 低阶无穷小
• 函数极限的存在性
  • 具体型
    • 夹逼准则
  • 抽象型
    • 单调有界准则
• 连续与间断
  • 连续
    • 内点处
      • 极限等于改点函数值，则连续
    • 断点处
      • 左端点极限值等于函数值，则右连续
      • 右端点极限值等于函数值，则左连续
  • 间断
    • 跳跃间断点
      • 该点左极限、右极限存在，但不相等
    • 可去间断点
      • 该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值
    • 第一类间断点
    • 无穷间断点
      • 左右极限至少有一个不存在，且为无穷大
    • 振荡间断点
      • 左右极限至少有一个不存在，且振荡
    • 第二类间断点