第一章函数、极限、连续

考研数学1800刷题思维导图，概述了数学中关于第一章“函数、极限、连续”的几个关键概念和应用，主要分为函数的性质、极限的概念与性质以及函数的连续性三大部分。旨在帮助学生全面理解和掌握相关知识。

第一章 函数、极限、连续

• 判断函数的性质 （注意判断的顺序）
  • Ⅰ奇偶性：定义
  • ②有界性：分开求，找特殊点
  • ③单调性：零点的个数
  • ④周期性：利用单调性判断 基础选择：1
• 复合函数
  • ①根据复合关系求新的函数表达式 （自己和自己复合） 方法：由里向外逐层写出新的表达式，原定义域用f(x)表示 基础选择：1
  • ②根据新的复合函数求新变量表达式 方法：将新变量带入原函数与新函数构造等式求解 基础填空：1
• 极限的概念与性质
  • 见通法笔记
• 求极限
  • ①函数求极限
    • Ⅰ带入分析，判断类型
    • Ⅱ化简
      • ①计算非零因子，仅限乘除法相对于整体
      • ②拆分极限存在的项，【存在】：极限是一个确定的数，【项】：加减法 分子是分母的高阶或同阶无穷小，极限一定存在，低阶则一定不存在 通过减等价无穷小升阶
      • ③等价无穷小的代换（一阶等价无穷小9个，二阶等价无穷小3个，三阶等价无穷小4个） 仅限乘除法，加减法中不能相互抵消
      • ④提公因子/拉格朗日中值定理 两类相同函数加减 基础解答：5（3）
      • ⑤幂指函数指数化 常见三类不定式；连乘，连除 基础解答：17（2）
      • ⑥根式有理化
      • ⑦变量代换 倒代换； x→x0,令x-x0=t,则t→0；
    • Ⅲ计算
      • ①洛必达法则 f(x)在某点n阶可导，可洛n-1次 f(x)在某点n阶连续可导，可洛n次
      • ②泰勒公式
    • 题型总结
      • ①无穷小阶的比较 根据阶数确定参数 等价代换、泰勒展开、定积分的等价X^n(m+n) n:上限无穷小的阶数，m:被积函数无穷小的阶数，若是常数则为0 入门选择：2 基础选择：3，4，5 填空：11，13，14，15
      • ②极限函数 利用重要极限X^n,注意分情况讨论 入门填空：12
      • ③已知有函数的极限形式，求新极限 把其他项用泰勒展开，表达出未知函数f(x)，将f(x)带入新的极限即可 基础选择：8，填空20
      • ④利用导数定义求极限 n阶可导，洛必达用n-1次，n阶连续可导洛必达可用n次
  • ②数列求极限
    • ①利用公式直接求和
    • ②夹逼+放缩 放缩：绝对值，阶梯函数 入门填空：13 解答：5 基础选择：9
    • ③定积分的定义
    • 连加的形式，写成求和符号方便观察性质： 连乘的形式则考虑指数化，化成加法/减法；
    • ④单调有界准则 已知an表达式，求与an有关的极限 方法： Ⅰ根据an表达式假设性求极限 Ⅱ根据a1,a2,an的值大体判断an单调性及界值 Ⅲ利用数学归纳法证明极值,做差法证明单调性 答题时先写Ⅲ再Ⅰ 入门解答：6，7，8 基础解答：21，22，23
    • ⑤裂项求和 入门解答：5
• 已知极限，求参数
  • 方法 ①分离常量 ②求极限 有理运算法则 入门选择：4，5，6，7，8 填空：6，10 基础选择：6，7 填空：2，6 解答：19，20
• 函数连续性
  • ①利用连续的分段偶函数函数，确定带有绝对值的分段点|x|>c,|x|≤c 方法： Ⅰ分c>0,c=0,c<0三种情况（一般只有大于零才连续） Ⅱ当c>0时，只考虑一段连续性即可，由此确定c的值 错题本1：9.30
  • ②根据分段函数连续性定参数 入门选择：8 填空：14 基础填空：17，18，19
  • ②求函数的间断点并分类 Ⅰ找疑似点： 分段函数,间断点通常在分段处； 表达式,间断点通常在定义域的端点处； 极限式（极限函数分情况讨论转化为分段函数）,求出极限,化为分段函数,再找间断点. Ⅱ求极限判断极限值是否等于函数值 入门选择：9，10 填空：15 解答：10，11 基础选择：13，14，15，16 解答：24，25，26，27，28（极限函数）
• 连续的性质
  • 此部分内容一般与中值定理相结合考证明题见小错题本