高等数学第七章向量代数与空间解析几何

高等数学第七章向量代数与空间解析几何笔记，主要包含向量代数和空间平面与空间直线方程两部分内容。

向量代数与空间解析几何

• 向量代数
  • 基本概念
    • 向量
      • 有方向也有大小
    • 自由向量
      • 只有大小和方向，没有作用点
    • 单位向量
      • 长度为一个单位
  • 运算法则
    • 加法
      • 平行四边形法则
      • 三角形法则
    • 数乘
      • xa
        • x＞0 与a同向
        • x＜0 与a反向
        • x＝0 0向量
    • 性质加法与数乘性质
      • 交换律：a+b=b+a
      • 结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
      • 三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|
        • ab方向相同时相等
      • 分配律
        • x（a+b）=xa+xb
    • 点乘（内积）
      • 概念
        • |a||b|cosx
        • b对a的投影乘a的模
      • 性质
        • （xa）b=a（xb）=xab
        • （a+b）c=ac+bc
        • ab=0
          • a与b垂直
    • 叉乘（外积）
      • 概念
        • 方向与a，b垂直
        • |a||b|sinx
        • 右手系
      • 性质
        • a*b=0
          • a与b平行
        • a*b=--b*a
        • （xa）*b=a*（xb）
        • （a+b）*c=a*c+b*c
        • （a*b）*c无结合律
    • 混合积
      • a（b*c）=b（c*a）
      • a（b*c）=0
        • 三个向量共面
  • 坐标
    • a=xi+yj+zk
      • a=（x，y，z）
    • ia=（ix，iy，iz）
    • a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）
    • ab=x1x2+y1y2+z1z2
    • a*b=（y1z2—y2z1）i+（z1x2—z2x1）j+（x1y2—y1x2）k
      • 建议使用行列式方法计算
    • ab*c=（ijk换为x1x2x3）
      • 建议使用行列式
    • |x1 y1 z1| |x2 y2 z2| |1 1 1 |
      • ±|a*b|
    • |x1 x2 1| |y1 y2 1| |z1 z2 1|
      • （x1，x2）、（y1，y2）、（z1，z2）三点构成的三角形面积的两倍
    • |ab|≤|a||b|（柯西不等式）
• 空间平面与空间直线方程
  • 平面
    • Ax+By+Cz=D
      • 自由度为2
    • n1X+n2Y+n3Z=D/（A^2+B^2+C^2）^½
      • n=n1^2+n2^2+n3^2
        • 单位方向向量
    • 设任意一点为p，op为（x，y，z）
      • n op=D’（D’=D/（A^2+B^2+C^2）^½）
    • n（pp’）=0
      • n为法向量，p’为固定点
        • 点法式平面
    • 三点式平面
      • p1p（p1p2*p1p3）
    • 截距式平面
      • AX/D+BY/D+CZ/D=1
        • （0，0，D/C），（0，D/B，0），（D/A，0，0）
          • ABC≠0
    • 平面角求解
      • 法向量夹角
  • 直线
    • 设：A1X+B1Y+C1Z=D1 A2X+B2Y+C2Z=D2 两平面相交
      • 一个自由度
      • （A1，B1，C1）（A2，B2，C2）不平行
        • 平行时两平面重合或平行