导图社区 数学物理方法
这是一篇关于的思维导图,主要内容包括:复变函数、复变函数的积分、幂级数展开、留数定理、傅里叶变换、拉普拉斯变换。
编辑于2024-09-16 21:06:50
非线性函数物理问题简介
孤立子
混沌
保角变换法
保角变换的基本性质
某些常用的保角变换
积分变换法
傅里叶变换法
拉普拉斯变换法
小波变换简介
格林函数法
泊松方程的格林函数法
用电像法球格林函数
含时间的格林函数
用冲量定理法求格林函数
推广的格林公式及其应用
柱函数
三类柱函数
贝塞尔方程
柱函数的渐近公式
虚宗量贝塞尔方程
球被塞尔方程
可化为贝塞尔方程的方程
第二篇 数学物理方程
第一篇 复变函数论
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换的反演
查表法
黎曼—梅林反演公式
球函数
轴对称求函数
连带勒让德函数
一般的球函数
二阶常微分方程级数解法 本政值问题
特殊函数常微分方程
拉普拉斯方程△u=0
球坐标系下
球坐标 坐标  各参量的取值范围  球坐标与直角坐标表达式之间的转化  体积元表达式 
表达式
求解过程
求解过程中重要方程及解
径向方程
方程解
球函数方程
方程解
l阶连带勒让德方程
l阶勒让德方程
柱坐标系下
柱坐标 坐标  参量的范围  柱坐标与直角坐标表达式之间的转化  体积元 
表达式
求解过程
三个常微分方程及其解
方程解
求解
m阶贝塞尔方程
虚宗量贝塞尔方程
波动方程
分离变量后的方程
亥姆霍兹方程
求解过程
输运方程
分离变量后的方程
亥姆霍兹方程
求解过程
亥姆霍兹方程
球坐标系下
表达式
求解过程
求解过程中的重要方程
l阶球贝塞尔方程
球函数方程
柱坐标系下
表达式
求解过程
三个常微分方程及其解
常点邻域上的级数解法
线性二阶常微分方程
标准形式
方程的常点和奇点
常点领域上的级数解
勒让德方程 自然边界条件
正则奇点邻域上的级数解法
奇点领域上的级数解
正则奇点领域上的级数解
贝塞尔方程
虚宗量贝塞尔方程
施图姆—刘维尔本征值问题
施图姆-刘维尔本征值问题
施图姆-刘维尔本征值问题的共同性质
广义傅里叶级数
复数的本征函数族
希尔伯特空间
分离变数法
齐次方程的分离变量法
研究对象
泛定方程
边界条件
初始条件
子主题
非齐次振动方程和运输方程
傅里叶级数法
冲量定理法
冲量定理法的物理思想
冲量定理法的数学验证
非齐次边界条件的处理
一般处理方法
特殊处理方法
泊松方程
分离变数法小结
一般的有界波动和运输问题
一般的有界稳定场问题
数学物理定解问题
数学物理方程的导出
1. 均匀弦的微小横振动
方程
自由振动方程
受迫振动方程
力密度
t时刻作用于x处单位质量上的力。
推导过程
2. 均匀杆的纵振动
方程
自由振动方程
受迫振动方程
力密度
F(x,y,z,t)是杆的单位长度上单位截面面积所受纵向外力。
推导过程
3. 传输线方程(电报方程)
方程
推导过程
4. 均匀薄膜的微小横振动
方程
自由振动方程
受迫振动方程
力密度
作用于单位质量上的横向外力。
推导过程
5. 流体力学与声学力学
方程
推导过程
6. 电磁波方程
方程
推导过程
波动方程
共性
个性
7. 扩散方程
方程
无源无汇
有源或有汇
推导过程
8. 热传导方程
方程
无热源和热汇
有热源和热汇
推导过程
输运方程
共性
没有热源和热汇
个性
9. 稳定浓度分布
方程
无源
泊松方程
有源
拉普拉斯方程
推导过程
10. 稳定温度分布
方程
无热源
泊松方程
有热源
拉普拉斯方程
推导过程
11. 静电场
方程
推导过程
稳态方程
共性
无热源
泊松方程
有热源
拉普拉斯方程
个性
12. 恒定点流场
方程
推导过程
13. 不可压缩流体的无旋定常流动
方程
推导过程
14. 杆的微小横振动
方程
推导过程
15. 量子力学的薛定谔方程
方程
推导过程
定解条件
初始条件
边界条件
衔接条件
数学物理方程的分类
线性二阶偏微分方程
两个自然数的方程分类
多自变数的方程分类
常系数线性方程
达朗贝尔公式 定解问题
达朗贝尔公式
端点的反射
定解问题是一个整体
定解问题的适定性
留数定理
留数定理
留数
定义
洛朗函数-1项的系数。
留数的计算
可去奇点
极点
一阶极点
当f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式时。
多阶极点
留数定理
设函数f(x)在回路l所围区域B上除有限孤立奇点b1,b2,……,bn外解析,在闭区域内除奇点外连续。
将回路积分归结为被积函数在回路所围区域内各奇点的留数之和。
典型例题
确定极点,求极点的留数
求回路积分
流程图
子主题
应用留数定理计算实变函数定积分
基本原理
几种具体的实变定积分
类型一
类型二
需满足的条件
复变函数f(x)在实轴上没有奇点;
在上半平面除有限各奇点外是解析的;
当z在上半平面及实轴上区域∞时,zf(z)一致趋于0。
推导过程
类型三
概要
需满足的条件
偶函数F(z)和奇函数G(z)在实轴上没有奇点;
在上半平面除有限各奇点外是解析的;
当z在上半平面或实轴上区域∞时,F(z)及G(z)一致趋于0。
推导过程
复变函数的积分
复变函数的积分
路积分
定义
数学形式
曲线积分的算法
积分性质
子主题
柯西定理
单连通区域情形
复通区域情形
不定积分
柯西公式
傅里叶变换
傅里叶级数
周期函数的傅里叶展开
基本函数族
湘博的课件上是0到∞,但我觉得1单独写出了,就应该是1到无穷。
特性
正交性
元素之间相互独立,不可替代;
数学表达
即任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零。
完备性
任意一个周期函数,都可以用基本函数族中的元素表示。
完备性方程
周期函数的傅里叶展开
含义
复合波由频率不同,振幅不同,周期相同的简谐波线性组合而成。
共同周期
频谱图
奇偶函数的傅里叶展开
傅里叶正弦级数
傅里叶余弦级数
定义在有限区间上的函数的傅里叶展开(待补充)
解决方法
延拓
延拓规则
若无限定,则随意。
复数形式的傅里叶展开
基本组函数
正交性
即任意一个函数与另一个函数复共轭的乘积在一个周期上的积分等于零。
完备性方程
展开式
傅里叶积分与傅里叶变换
实数形式的傅里叶变换
分波表达(自己的命名)
傅里叶积分
f(x)的傅里叶变换式
合波表达(自己的命名)
f(x)的振幅谱
f(x)的相位谱
奇偶函数的傅里叶变换
傅里叶正弦变换对(奇函数)
傅里叶余弦变换对(偶函数)
复数形式的傅里叶积分
傅里叶积分
f(x)的傅里叶变换式
推导过程
原函数与像函数
傅里叶变换的原函数
傅里叶变换的像函数
傅里叶变换的基本性质
导数定理
推到过程
积分定理
推导过程
相似性定理
推导过程
延迟定理
推到过程
位移定理
推到过程
卷积定理
推到过程
多重傅里叶积分
对称形式
δ函数
δ函数
δ函数的一些性质
δ函数的广义函数
δ函数的傅里叶变换
幂级数展开
复数项级数
定义
收敛问题
本质:实部的收敛与虚部的收敛;
判据
柯西收敛判据
幂级数
定义
以z0为中心的幂级数
判别法
比值判别法(达朗贝尔判别法)
收敛圆
收敛半径R;
在圆的内部收敛;在圆的外部发散;在圆上则需具体分析。
根值判别法(待补充)
性质
幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数;
幂级数可以在收敛圆内逐项求任意多次的求导或积分;
逐项积分或求导不改变收敛半径;
证明过程
泰勒级数展开
把解析函数展为复变项的泰勒级数;
定理
设f(z)在以z0为圆心的圆内解析,则对园内的任意z点,f(z)都可展为幂级数;
解析延拓
洛朗级数展开
问题
k的取值范围怎么理解(何时有负幂项,何时没有?)
圆上解析,如何展开?
拆开方法
孤立奇点分类及其判断
可去奇点
极点
本性奇点
极限不存在,且不为无穷。
极限不存在的集中情况
极限为无穷;
左右极限不相等;
分段函数
没有明确的值;
第一章 复变函数
1. 复变与复变运算
数的扩展
自然数
整数
有理数
实数
复数
复数的基本概念
复数的表示
代数表示
x为实部,记作(real)Re z。
y为虚部,记作(imaginary)Im z。
几何表示
复数平面
x为实轴,y为虚轴。
三角函数表示
指数表示
概要
ρ为该复数的模,记作|z|。
φ为该复数的辐角,记作Arg z。
一个复数的辐角值不能唯一的确定,可以取无穷多个值,并且彼此相差2π的整数倍。
约定
以arg z表示其中满足条件0≤Arg≤2π的一个特定值。
称argz为Arg的主值,或z的主幅值。
幅值的增值方向是逆时针。
复数“零”的辐角没有明确意义。
共轭复数
欧拉公式
形式一
形式二
推到过程
无限远点
无限远点
复数球
复数的运算
四则运算
加法
减法
概述
用代数式形式进行运算更为方便。
实部相加减,虚部相加减。
三边关系
乘法
各形式的运算规律
代数式乘法
三角式乘法
指数式乘法
成立的运算律
交换律
结合律
分配律
除法
代数式除法
三角式除法
指数式除法
乘方运算
三角式乘方
指数式乘方
开方运算
三角式开方
指数式开方
概要
对于给定的z,其开n次方所得的复数,可以取n个不同的值。
注意区分
对数运算
指数运算
2. 复变函数
复变函数的定义
复变函数
若在复数平面(或球面)上存在一个点集E(复数的集合),对于E的每一个点(每一个z值),按照一定的规律,有一个或多个复数值w与之对应。
z是w的宗量,定义域为E。
数学表达
复变函数论主要研究对象
解析函数
区域的概念
邻域、内点、外点、边界点
邻域
以复数z0为圆心,以任意小正实数ε为半径的园内所有点的集合。
数学表达
内点
若z0及其邻域的点都属于点集E,则称z0为点集E的内点。
数学表达
外点
若z0及其邻域均不属于点集E,则称z0为点集E的外点。
数学表达
边界点
若在z0的每个邻域内,既有属于E的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点。
数学表达
边界线
边界点的全体。
数学表达
区域
在解析函数论中,满足一定条件的点集,称为区域。
表示
B
满足的条件
全由内点组成;
具有连通性;
点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来,且折线上的点全都属于该点集。
闭区域
区域B及其边界所组成的点集。
表示
欧拉公式(以复数为变量)
3. 导数
柯西-黎曼条件
简称C-R条件,又称柯西-黎曼方程。
直角坐标下的柯西-黎曼条件
推导过程(从定义中推到)
极坐标下的柯西-黎曼条件
推到过程
从定义上推到
从直角坐标下的柯西-黎曼条件中推到
4. 解析函数
定义
主要性质
典型问题
已知实部(或虚部),求解析函数
流程图
5. 平面标量场
6. 多值函数
复变函数论
复变函数
复数的表示及运算
代数式
实部相加减,虚部相加减。
三角式
注意区分
指数式
欧拉公式
函数f(z)存在的充要条件
函数偏导存在且连续,并且满足柯西-黎曼条件
柯西-黎曼条件
直角坐标下
极坐标下
已知实部(或虚部),求解析函数
曲线积分法
凑全微分法
不定积分法
复变函数的积分
柯西定理
单连通区域
复通区域
柯西公式
幂级数展开
判别法
绝对收敛
泰勒展开
基本函数的泰勒展开
洛朗展开
求解方法
直接展开法
利用定理公式计算系数;
间接展开法
奇点的分类
可去奇点
极点(m阶)
本性奇点
不存在极限且不为无穷;
留数定理
留数(n阶极点)
留数定理
计算实变函数定积分
几种具体类型的实变函数的定积分
类型一
类型二
类型三
傅里叶变换
傅里叶级数
复数形式
傅里叶积分与傅里叶变换
复数形式
傅里叶变换的基本性质
导数定理
积分定理
相似性定理
延迟定理
位移定理
卷积定理
拉普拉斯变换
数学物理方程
特殊的常微分方程
输运方程
没有热源和热汇
分离变量
亥姆霍兹方程
波动方程
达朗贝尔公式
无限长问题
通式
特解(达朗贝尔公式)
分离变量
亥姆霍兹方程
球坐标系下
l阶球贝塞尔方程
球函数方程
柱坐标系下
稳态方程
拉普拉斯方程
无热源
球坐标系下
球坐标 坐标  各参量的取值范围  球坐标与直角坐标表达式之间的转化  体积元表达式 
径向方程
球函数方程
l阶勒让德方程
级数解
勒让德多项式
微分表示
罗德里格斯公式
积分表示
施列夫利积分
拉普拉斯积分
l阶连带勒让德方程
连带勒让德函数
解
微分表示
罗德里格斯公式
积分表示
施列夫利积分
拉普拉斯积分
结果形式
球函数
通解
柱坐标系下
柱坐标 坐标  参量的范围  柱坐标与直角坐标表达式之间的转化  体积元 
求解
m阶贝塞尔方程
虚宗量贝塞尔方程
积分小技巧
解析复变函数实部或虚部凑微分的几点注意事项
1. 技巧1:
如果凑出来关于x微分部分和关于y微分部分有共同项,则合并时公共项只取1次。
2. 技巧2:
如果凑出来关于x微分部分和关于y微分部分没有共同项,则凑微分时直接将x微分部分和y微分部分相加即可。
3. 技巧3:
如果凑出来关于x微分部分和关于y微分部分即包含完全相同项,也包含完全不同项,则凑微分时用相同项加不相同项即可。
一个原则
相同项取一次,不同项直接相加。
主题
积分性质的应用;
思想:当一项积分有难度时,可以思考是否是积分性质的应用;
将多项作为对象积分;
主题