多元函数

考研高等数学多元函数总结笔记包含多元函数偏导数和全微分求法，二元函数极限与性质，多于函数的极值和最值等。

多元函数

• 二元函数的极限
  • 判断二重极限是否存在
    • 一种方式趋向下极限不存在或两种不同方式趋向下极限不相等，则二重极限不存在
    • 判断方法
      • ①同阶路径法
        • 
      • ②变阶路径法
  • 判别累次极限是否存在
  • 二重极限与累次极限的关系
  • 二重极限常用求解方法
    • 不可用洛必达
    • 无阶的概念除非y=kx
    • ①等价无穷小代换
    • ②整体换元法，实际上的一元极限
    • ③放缩法(用夹逼准则)
    • ④无穷小量×有界变量
      • 常见有界变量
• 二元函数性质
  • 连续
    • 二元函数连续的概念
    • 二元函数单变量连续的概念
  • 偏导数
  • 可微
    • 可画坐标轴判别各个方向，例xy≠0
    • 可微的充分条件
  • 二元函数连续、可导、可微之间的关系
    • 可微：沿着每个方向都可导 可导：十字交叉线方向可导 连续：每个方向的极限值=函数值
  • 二元函数的拉格朗日定理
    • 定理
    • 注意事项
  • 二阶偏导数
• 多元函数的极值和最值
  • 极值
    • 定义
    • 极值可疑点
      • ①驻点
      • ②偏导数不存在的点
    • 必要条件
  • 无条件极值或最值
    • 充分条件
      • 有偏导数不存在的点时用定义法
      • • 方法失效可用定义法
  • 有条件极值或最值
    • 能回代可回代
    • 拉格朗日乘数法
      • • 例如：消l，找x,y,z关系，对于三个变量需要找两个关系。 注意：①等式两边同时约掉一个数，判断其为不为0； ②变量作分母了判断其为不为0
  • 闭区域D上的最值
    • 连续函数在闭区域上一定存在最大值及最小值
• 多元函数偏导数和全微分
  • 复合函数
    • 先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导 有多少中间变量，求导结果就有几部分
    • 链式求导
      • 套娃形式¾不缩写
        • 例如：z=f(x+y，f(x,y))
  • 全微分形式不变性
  • 显函数的偏导数或全微分
    • 对于多元函数的某一个自变量求偏导数时，将其余自变量均视为常数，利用一元函数求导方法求解。求定点时，可以先代入另一个变量的值，方便求导
  • 隐函数的偏导数或全微分
    • 直接求偏导数
      • 注意：对于x求偏导数，y视为常数，但z中有x(适用于二阶)
    • 隐函数存在定理1
    • 隐函数存在定理2
      • 适用于一阶
  • • • 克拉默法则
  • 偏导数或全微分的反问题
    • 全微分的反问题
      • 凑微分法
      • 偏积分法
    • 偏导数的反问题
      • 偏积分法
• 题设：已知df(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy，求f(x,y)