一元函数积分

考研高等数学一元函数积分总结笔记，包含函数积分的概念与性质，几何应用，定积分等式/不等式，物理应用等知识点总结。

一元函数积分

• 概念与性质
  • f(x)可导Þ连续Þ可积Þ有界
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      • 夹逼准则
      • 放缩后再凑
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    • 其他分割取高型
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  • 不定积分(原函数)存在性
    • (1)设f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上原函数一定存在
    • (2)含有第一类间断点和无穷间断点的函数f(x)在包含该间断点的区间内必没有原函数
    • (3)若f(x)在[a,b]上存在振荡间断点，此时原函数可能存在
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  • 定积分存在性
    • 充分条件
    • 必要条件
  • 变限函数
    • 性质
    • 重要结论
  • 判断具体型反常积分的敛散性
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    • 步骤
    • 方法
      • ①积分可拆性
      • ②分母设置法
      • ③换元法
        • 如：1-x=t，lnx=t
      • ④分部积分法
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      • ⑤等价代换
        • 如：当x®0时，ln(1+x)~x
      • ⑥加绝对值，用绝对值判敛法
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    • 结论
      •     令lnx=t
• 几何应用
  • 计算公式
    • ①面积
      • 直角坐标系下
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      • 极坐标系下
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      • 参数方程
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    • ②旋转体体积
      • 绕x轴
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      • 绕y轴
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      • 绕直线
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      • 绕极轴
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      • 古尔金定理
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        • 绕特殊直线旋转
    • ③弧长
      • 直角坐标系下
      • 极坐标系下
      • 参数方程
    • ④侧面积
      • 直角坐标系下
      • 极坐标系下
      • 参数方程
    • ⑤平均值
    • ⑥形心、质心
  • 基本图形
    • 心形线
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    • 伯努利双扭线
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    • 螺线
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    • 玫瑰线
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    • 摆线
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    • 星形线
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    • 叶形线
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• 物理应用
  • (1)变力沿直线做功
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    • • 例题
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  • (2)抽水做功
    • • 例题
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    • 求解这类问题的关键是确定x处的水平截面面积A(x)，其余的量都是固定的.
  • (3)静水压力
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    • • 例题
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    • 水压力问题的特点：压强随水的深度的改变而改变，求解这类问题的关键是确定水深x处的平板的宽度f(x)-h(x)
  • (4)万有引力
    • 例题
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• 定积分不等式
  • 比较定理(保号性)
  • 估值定理
  • 绝对值不等式
• 定积分等式
  • ①奇偶性
  • ②周期性
  • ③区间再现公式
    • • sinx可以是cosx的偶次方
  • ④华理士公式
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  • ⑤积分中值定理
  • ⑥换元积分法
  • ⑦分部积分法
  • ⑧牛顿-莱布尼茨公式