极限

高等数学极限的方法，包含极限的性质、定性分析、定量计算从处理手段角度、定量计算从类型角度等详细知识点。

极限

• 存在
  • 充要条件:左右极限都存在且相等
    • 分段函数以及一些函数可能需要用到这一步
• 极限的性质
  • 唯一性
  • 极限点附近的保序性
    • =1/x2与1/x3极限都为0
    • 保号性
  • 极限点附近的有界性
    • 数列：有极限的数列必有界
• 定性分析
  • 有界量乘以无穷小量等于无穷小量
  • 有限个无穷小之和仍为无穷小
  • 无穷小与有极限的函数的乘积是无穷小
    • 0·a=0
    • 0·0·0····有限个=无穷小
  • p48
• 定量计算从处理手段角度
  • 四则运算法则
    • 每个极限都存在才可以用！！！！
      • 涉及到拆不拆的的问题
      • 不能拆开来后有极限为无穷大的——不存在
    • 什么时候能拆-
      • 如果两项拆开来后都不存在极限
        • 不可拆
          • 不存在+不存在=不一定
      • 如果拆开来后两个极限都存在
        • 可以拆
          • 存在+存在=存在
    • 有理函数的极限
      • 高低相等
  • 直接带入
    • 初等函数都是连续函数
      • 趋于抹一点某，只要不是未定式均可带入
      • 分母不为零
  • 换元，变量带换
    • 复合函数求极限
      • 注意范围与结构
      • 幂指函数求极限
        • g(x)的极限>0
  • 等价无穷小代换
    • 乘除可以，加减当心
    • 只有无穷小才能用！！
    • 整体思想
    • 高阶无穷小的运算法则
  • 洛必达法则
  • 泰勒公式展开*
  • 当为无限项时
    • 数列：求和，裂项，平方差公式
    • 单调有界准则
      • 递推公式一类：单调有界确定极限存在——对递推公式两边同时取极限
      • 根据极限保号性去值
    • 夹逼准则
      • 放缩
• 定量计算从类型角度
  • 带入看类型
  • 0/0
    • 恒等变形
      • 数列求和
      • 因式分解
      • 有理化
      • 取对数
      • 等价无穷小代换
    • 看看还可不可以带入
    • 洛必达法则
  • ¥/¥
    • 恒等变形
      • 同除高次最大项
    • 常用的推论
      • p50
    • 洛必达
  • ¥·0
    • 通分或换元
    • 往上面两种上转换
  • ¥-¥
    • 通分或换元
  • 1¥
    • 重要极限
    • 幂指变形
  • 0的0次方与 ¥的0次方
    • 幂指变形后回到上面处理
• 浮动主题