常微分方程

这是一篇关于常微分方程的思维导图，主要内容包括：定性理论与分支理论初步，线性微分方程组，高阶微分方程，微分方程定性理论，一阶微分方程初等解法。

常微分方程

• 一阶微分方程初等解法
  • 恰当方程
    • （积分因子）
      • 找单变量积分因子
  • 可分离变量方程
  • 一阶线性微分方程
    • 齐次
    • 非齐次
  • 几类重要的ODE
    • 齐次方程
    • Bernoulli方程
    • Riccati方程
    • 克莱罗方程
    • Gronwall不等式
  • 一阶隐式方程
    • 微分法
      • 可解出x/y
    • 参数法
      • 方程不显含x/y
      • f(x,y,p)=0表示空间中的曲面，将x,y,p当作独立变量
• 微分方程定性理论
  • Picard存在唯一性定理
    • 会序列迭代计算方法，求第n次近似解
      • picard逐步逼近序列，逼近公式
    • 解的存在唯一性定理
      • 容易出证明，填空
      • 连续，关于y李普希茨
    • 误差估计
      • 误差估计公式，lipschitz常数计算
    • 解的存在区间
  • 解的延伸
    • 延拓定理：在G内连续
    • 推论：在G内连续，对y局部Lipschitz
      • 经过G内任一P0存在唯一积分曲线Γ在G内延伸到边界
• 高阶微分方程
  • 解对初值和参数的连续依赖性
  • 解对参数的连续可微性
    • 三个可微式
• 线性微分方程组
  • 一般理论
    • 解的结构
      • Wronski行列式
        • • W(x)或恒为零，或恒不为零
      • 基解矩阵
      • 标准基解阵
      • 非齐次
  • 常系数线性微分方程组
    • 可对角化
      • 标准基解矩阵
    • 不可对角化
      • 若当标准型求基解矩阵
      • 待定指数函数法
        • A只有单特征值
        • A有相重的特征根
  • 高阶线性微分方程
    • 解的结构
      • Wronski行列式与齐次方程解的线性相关性
      • 非齐次线性微分方程有且只有n个线性无关的解
      • 解的叠加原理
        • 可能考证明
      • 齐次的解的形式
        • n个线性无关的函数组构成齐次方程基本解组
        • 通过齐次方程的基本解组解非齐次方程--找特解
    • 二阶
      • 齐次用公式
      • 齐次的两个通解，加上非齐次的特解
    • 高阶
      • 常系数高阶线性微分方程
        • 齐次
          • 常系数齐次方程
            • 特征方程法
        • 非齐次
          • 待定系数法
            • 两种经验公式
              • f(t)是m次多项式
              • f(t)
          • 齐次-常数变易法
      • 可降阶的方程
        • 不显含x,x',...
        • 不显含t
        • 已知k个线性无关的解
• 定性理论与分支理论初步
  • 动力系统
    • 自治方程
      • 相空间，轨线
      • 增广相空间
  • 解的稳定性
    • 稳定
      • 零解稳定性
        • 线性近似
        • Liyapunov第二方法
    • 渐近稳定
    • 不稳定
  • 平面动力系统