函数极限连续

考研高数第一章函数极限连续的知识点包括函数的概念、种类、性质，极限的概念、性质、存在准则、无穷小、无穷大，连续的概念、间断点。

第一章思维导图

函数

概念

两要素：定义域➕对应规则

种类

复合函数

注意⚠️定义域选取-原始式子自变量为x

初等函数

幂函数

指数函数

对数函数

三角函数

反三角函数

反函数

符号函数

性质

单调性

带=时，单调不减/单调不增

易错点：F（x）导数>0，不能➡️一定存在x的某邻域，在此邻域f（x）单调增

奇偶性

f（x）可导

f（x）奇➡️导数是（不可倒退）

f（x）偶⬅️➡️导数是奇（可倒退）

f（x）连续

奇函数➡️原函数偶

偶函数➡️原函数有唯一一个奇

周期性

周期函数导函数➡️周期函数

周期函数原函数不一定是周期函数

原函数是周期函数=在一个周期上积分为0

有界性

闭区间连续➡️闭区间有界

开区间连续➕区间边界存在➡️开区间有界

导数在开区间有界➡️原函数在开区间有界

极限

概念

极限是去心邻域，和这一点是否有意义没有关系

数列极限

极限存在和前有限项无关，和后无穷项有关

极限存在=奇次偶次存在且相等

函数极限

去心邻域，➡️但不等于

极限存在=左右存在且相等

⚠️需要区分左右的函数

⚠️间断点，极限可能不存在

性质

局部有限性

极限存在➡️x0去心邻域内有界

不可倒推

保号性

A>0➡️f（x）>0

f（x）>=0➡️A>=0

lim f（x）=A⬅️➡️f（x）=A+o（x）

存在准则

夹逼定理

某一项开始

单调有界

无穷小

比阶数

高阶

lim a/b=0

同阶

lim a/b=c

等价

lim a/b=1

k阶

性质

无穷小+无穷小=无穷小

无穷小✖️无穷小=无穷小

无穷小✖️有界量=无穷小

无穷大

对比无穷大

函数：指数>幂函数>对数

数列

无穷大➡️无穷变量

无穷大=n项之后都很大

无界变量：某一项很大

无穷大🆚无穷小

⚠️分母不为零

连续

概念

x～a，lim f（x）=f（a）

连续=左连续➕右连续

间断点

概念

在a点有定义但是不连续

找分母=0，ln，根号等

分类

第一类间断点

可去间断点

跳跃间断点

第二类间断点

无穷间断点

震荡间断点

性质

有界性

闭区间连续➡️闭区间有界

最值

闭区间连续➡️闭区间一定有最大最小值

介值

闭区间连续，端点不相等➡️至少存在f（c）=C

闭区间连续，m<=f（x）<=M

零点定理

闭区间～开区间

x➡️∞，指数函数>幂函数>对数函数

若f（0）有意义但不等于0，则不是奇函数

⚠️常见的几个奇偶函数

n～∞ 绝对值🆚原函数

lim数列=0⬅️➡️lim｜数列｜=0

lim数列=A➡️lim｜数列｜=｜A｜

求极限

函数求极限

有理法则求极限

基本代换公式

等价无穷小代换

洛必达法则

泰勒公式

中值定理（拉格朗日中值定理）

数列求极限

单纯求极限

n项求和

1. 直接求和公式

2. （分子分母不齐次）夹逼定理，一项～➡️n项

3. 分子分母齐，分母比分子高一次，定积分

不定式求极限

改写成函数求极限

n项连乘

1. 夹逼定理

2. 取对数➡️n项求和

证明➕求极限1⃣️ 函数单调

1 证明函数单调

(1) n+1项➖n项

(2) n+1项➗n项

(3) 设X（n+1）=f（x）

1 f（x）单调增

X2>X1➡️{x}单调增

X2<X1➡️{x}单调减

2 f（x）单调减

无法判断

2 证明函数有界

1. 最小值最大值等公式积累

3 n～∞，令lim数列=A

4 代入原数列递推关系式

5 求出A

证明➕求极限2⃣️ 函数不单调

1 n～∞，令lim数列=A

2 代入原数列递推式

3 求出A

4 证明lim{x}=A

确定极限式中参数 难点

直接求极限

多做题，总结题型😭

证明题

与微分中值定理结合

f（x）闭区间，证明a开区间⬅️零点定理

f（x）闭区间，证明a闭区间⬅️介值定理

f（x）闭区间，出现函数相加条件➡️介值定理

求函数相加

移到一边，构造辅助函数➡️零点定理

⚠️变定义域