机械振动

这是一篇关于大学物理振动部分的思维导图，主要内容包括：机械振动。机械振动是描述物体或质点围绕其平衡位置进行的往复运动。

第十七章

• 机械振动
  • 简谐振动
    • 定义：物体运动过程中，离开平衡位置的（角）位移随时间按余弦或正弦规律变化的一种运动形式。
    • 特征量
      • 振幅（A）
        • 丨cos（ωt+φ）|≤1➡|x|≤A A表示振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值
          • 1)振动系统的振幅决定于其初始条件
          • 2)振幅是决定振动系统振动能量的物理量
      • 初相位/初相（φ）
        • 1)φ决定于振动系统的初始位移
        • 2)φ也决定于振动系统的初始条件
        • 3)φ取值范围[-π，π]
        • φ在取值范围内：（x，v，a）存在一一对应的关系
        • 称（ωt+φ）为物体在t时刻振动的相位（或相）
      • 角频率/圆频率（ω）
        • 周期：T=2π/ω（系统固有）
          • T是完成一次全振动所需的时间
        • 频率：ν=1/T=ω/2π（固有）➡ω=2πν
      • 运动学方程
        • x=Acos（ωt+φ）
          • 速度：v＝dx/dt＝-ωAsin（ωt+φ）
          • 加速度：a＝dv/dt＝-ω²Acos（ωt+φ）
        • A,φ的确定
          • x₀=Acosφ v₀=-ωAsinφ
    • 表示方法
      • 解析法
        • x=Acos（ωt+φ）
      • 振动曲线法
        • ω=2π/T φ根据x₀及振动方向确定
          • x₁=A₁cos(ωt+φ₁) x₂=A₂cos(ωt+φ₂)
            • 任意时刻相位差：Δφ=φ₂-φ₁
              • 1）若Dj>0,称振动2超前振动1Dj或者说振动1落后振动2Dj
              • 2）若Dj=2kπ,k∈Z，两个振动同向
              • 3）若Dj=（2k+1）π，k∈Z，两个振动反相
              • 相位的意义：描述运动状态；比较两个振动在相位上的差异。
      • 旋转矢量法
        • • 注意：矢量法的旋转方向一定为逆时针
            • 旋转矢量法优点
              • 1）直观的表达谐振动的各特征量
              • 2）便于解决实际问题，特别是确定（初）相位；由x,v的符号确定向量A所在的象限
              • 3）便于与曲线法对应
    • 动力学特征
      • 简谐振动动力学定义：物体所受外力与它相对平衡位置的（角）位移x成正比，方向相反
      • 动力学方程
        • 1.受力特点
          • • F=-kx(线性恢复力）
        • 2.动力学方程
          • • （动力学方程）
              • 该二阶常系数微分方程的解为【x(t)=Acos(wt+j)】
              • （固有（圆）频率）
      • 能量守恒
        • 1.能量的时间函数
          • • （振幅的动力学意义）
              • 注：做简谐运动的系统机械能守恒
              • （二级公式）
        • 2.能量曲线
    • 简谐振动和合成
      • 同一直线简谐振动的合成
        • 频率相同
          • 1.分振动
          • 2.合振动
          • • 合振动是简谐振动，其频率仍为w
              • 讨论振动方向
                • （1）若两振动同向
                • （2）若两振动反向
          • 3.同一直线上几个频率相同的简谐振动的合成
            • 振幅矢量法
          • 4.同一直线上几个等振幅、同频率、相邻振动位差为d的n个简谐振动的合成
            • （合振动初相）
            • 合振动
              • • d=±2kπ（k=0,1,2,3,...)
                  • A=na
                • • A=0
        • 频率不同
          • 1.分振动
          • 2.合振动
            • • 合振动不是严格意义上的简谐振动
                • • 合振动可看作振幅缓变的简谐振动
          • 3.拍
            • 合振动忽强忽弱的现象，振幅随时间周期变化
            • 拍频：单位时间内强弱变化的次数
              • 一个周期内振幅绝对值两次达到最大，拍频是A(t)变化频率的2倍
        • 频谱分析
          • 确定一个振动包含的各种频率成分以及每个频率成分对应的振幅，称为对该振动的频谱分析
            • 标示出由此得到的各种频率及每其相应振幅的图表，称为频谱
              • 数学上已经证明：任意周期函数（周期为T）：x（wt）其中w=2π/T，均可展开成三角函数
      • 互相垂直的简谐振动的合成
        • 频率相同：运动轨迹为直线或椭圆
          • 1.分振动
          • 2.合运动：消去时间t得振动质点的轨迹方程
            • • （1）合运动一般是在x向，y向范围内的一个椭圆
              • （2)椭圆的性质（方位、长短轴、左右旋）在两个振动的A确定之后，主要取决于Dj
              • 结论
                • （1）Dj=0或π时，为简谐振动
                • （2)Dj>0时，顺时针旋转；Dj<0时，逆时针旋转
                • （3）|Dj|在[0,π/2]之间时，长轴在一三象限；|Dj|在[π/2,π]之间时，长轴在二四象限
        • 频率不同
          • 分振动
            • • 一般情况比较复杂，合成轨迹是不稳定的，且与频率比、相位差都有关
          • 1.两分振动频率相差很小
            • • 其中：
                • 可看作两频率相等而长短轴随t缓慢旋转，其运动轨迹类似于频率相同时的合成
          • 2.两振动的频率相差很大，且成整数比，轨迹图形是稳定的，封闭的。
            • 轨迹称为李萨如图形
  • 受迫振动
    • 物体在外界驱动力作用下的振动
    • 周期性外力：驱动力
      • 1.受力分析
        • 回复力
          • F=-kx
        • 阻尼力
          • • g为阻力系数
        • 周期性驱动力
      • 2.振动方程
        • • • 振幅
      • 3.稳态解
        • • 特点
      • 4.共振
        • 在一定条件下，振幅出现极大值，振动剧烈的情况
          • 1）位移共振
          • 2）速度共振
          • 3）尖锐共振
  • 阻尼振动
    • 在线性恢复力与阻尼力共同作用下的振动
    • 1.受力分析
      • 阻尼力
        • • 阻尼因子
            • b=g/m
              • 临界阻尼
                • （此时阻尼适中）
                  • 临界阻尼，也是非周期运动。表现出比过阻尼更快的趋向平衡位置
              • 过阻尼
                • （此时阻尼较大）
                  • 过阻尼，是非周期运动
              • 欠阻尼
                • (此时阻尼较小）
                  • 振幅指数衰减的准周期运动
                • 振荡周期
                  • • 其周期大于同一系统没有阻力时做简谐振动的周期
      • 弹性回复力
        • F=-kx
    • 2.振动方程