线性代数

这是一篇关于线性代数的思维导图，主要内容包括：二次型，特征值与特征向量，线性方程组的解法与结构，向量的基本概念与运算，矩阵运算及性质，行列式基础与应用。

线性代数

• 行列式基础与应用
  • 定义
    • 二阶行列式
    • 三阶行列式
    • n阶行列式
  • 性质
    • 互换两行变号
    • 某行乘k值变k倍
    • 行列式乘法性质
  • 计算方法
    • 二阶行列式计算公式
    • 三阶行列式计算公式
    • n阶行列式按行或列展开
  • 应用
    • 解线性方程组
    • 计算矩阵的逆
• 矩阵运算及性质
  • 概念
    • 定义
    • 表示方法
    • 特殊矩阵介绍
  • 运算
    • 加法运算规则
    • 数乘运算规则
    • 乘法运算规则
    • 转置运算规则
  • 逆矩阵
    • 定义
    • 求法
      • 利用伴随矩阵求逆
      • 利用初等变换求逆
  • 初等变换技巧
    • 定义
    • 三种初等变换
      • 行交换
      • 行乘常数
      • 行加常数倍另一行
  • 矩阵的秩
    • 定义
    • 求法
      • 利用行阶梯形矩阵
      • 利用秩的性质
• 向量的基本概念与运算
  • 向量概念
    • 定义
    • 表示方法
  • 运算
    • 向量加法
    • 数乘运算
    • 向量的线性组合
  • 线性相关性与向量组秩
    • 线性组合的定义
    • 线性相关与无关的判定
    • 判定方法
      • 利用行列式
      • 利用矩阵的秩
  • 向量组的秩
    • 极大线性无关组
    • 向量组秩的定义
    • 向量组秩的求法
• 线性方程组的解法与结构
  • 消元法求解
    • 高斯消元法步骤
    • 高斯约当消元法步骤
  • 解的判定
    • 系数矩阵的秩
    • 增广矩阵的秩
    • 解的判定条件
  • 解的结构
    • 齐次线性方程组通解
    • 非齐次线性方程组通解
• 特征值与特征向量
  • 定义
    • 特征值的概念
    • 特征向量的概念
  • 计算方法
    • 特征多项式求解
    • 矩阵的幂法
  • 应用
    • 对角化
    • 线性变换
• 二次型
  • 定义
    • 二次型的概念
  • 标准型与规范型
    • 通过配方法化简
    • 通过正交变换化简
  • 正定性判定
    • 主子式判定法
    • Sylvester准则
  • 应用
    • 二次型的最优化问题
    • 统计学中的应用