高数下空间解析几何

这是一篇关于高数下空间解析几何的思维导图，每个主题下都有具体的讲解、例题和练习题，旨在帮助理解和应用这些几何概念和方法。

空间解析几何

• 向量
  • 概念
    • 模
    • 单位向量（a°或e)
    • 坐标分解式(a,b,c)=ai+bj+ck
    • 方向余弦
    • 投影Prj a（认识这个符号就行）
    • 讲解：例7-3
    • 练习：习题7-1的第7题，并计算在x轴的投影
  • 运算
    • 加减
    • 数乘
    • 点乘（数量积）
    • 叉乘（向量积）：用行列式计算，用右手螺旋定则判断方向(注意反交换律：a x b ≠ b x a）
    • 讲解：例7-11和例7-12
    • 练习：习题7-2的第4题和第6题
  • 定理
    • 1.平行 b=λa（λ为非零常数，零向量与任意向量平行和垂直
• 曲线方程
  • 空间直线
    • 点向式方程（直线上一点和直线的方向向量）：对应平面的点法式方程
    • 参数方程：令点向式方程等于一个参数
    • 一般方程（两平面交线）
    • 夹角计算公式
      • 线线
      • 线面
    • 平面束方程（表示过同一直线的无数个平面）
    • 讲解：例7-27，例7-28
    • 练习：习题7-4的第1题(3)(4)和第8题
  • 空间曲线
    • 一般方程（转化为参数方程）
    • 参数方程
    • 投影
    • 讲解：例7-40
    • 练习：习题7-6的第4题和第5题
• 曲面方程
  • 平面
    • 点法式方程（平面上一点和平面的法线）
      • 讲解：例7-15（两种求法向量的方法）
      • 练习：习题7-3的第1题(3)
    • 一般方程（与点法式方程互相转换）
    • 截距式方程（类比直线）
    • 夹角计算公式
      • 两平面垂直的充要条件：法向量垂直
      • 两平面平行（重合）的必要条件：法向量平行，系数成比例
    • 点到平面的距离公式（记住即可）
      • 练习：习题7-3的第7题，并求两平面夹角
  • 旋转曲面（举例）平面曲线绕z轴旋转，在xoy平面的投影变成圆形，原曲线方程的x或y变成根号（x²+y²）
  • 柱面：方程只含有x,y，在xoy平面的投影是曲线
  • 二次曲面：画图方法是置零一个变量，画平面图形
  • 练习：习题7-5的第5题(2)和第6题(2)