空间解析几何与向量代数

高数第八章，包含数量积 向量积 混合积、平面及其方程、曲面及其方程、空间直线及其方程、空间曲线及其方程等相关内容，知识点系统且全面，非常值得学习。

空间解析几何与向量代数

• 主题
  • 向量及其线性运算
    • 向量的概念
      • 1.向量:既有大小又有方向的量
        • 数学上研究的向量都是自由向量.
      • 2.模:向量的长度
        • 模为1的向量称为单位向量. 模为0的向量称为零向量,规定它的方向是任意的.
      • 3.共线与共面
        • 三个以上的向量,若平移后可位于同一个平面上,则称它们共面.
    • 向量的线性运算
      • 1.向量的加减法 加法定义:平行四边形法则或三角形法则.
      • 2.向量与数的乘法
        • 运算律
          • (1)结合律 (2)分配律
    • 空间直角坐标系
      • 1.坐标系的建立
        • 给定点O,称为坐标原点,及三个互相垂直的单位向量, 称为基本单位向量, 它们确定了三根互相垂直的数轴,分别称为, , x y z轴,这样就构成了Oxyz坐标系, .习惯上,我们采用右手系，三根坐标轴确定了三个坐标平面.三个坐标平面将空间分成八个卦限.
      • 2.向量的坐标
        • 坐标分解式
    • 利用坐标作向量的线性运算
      • 定比分点
      • 平行对应成比例
    • 向量的模,方向角与投影
      • 1.向量的模与两点间的距离公式
      • 2.方向角与方向余弦
        • 称r 的三个方向角的余弦为r 的方向余弦.
      • 3.向量在轴上的投影
• 数量积 向量积 混合积
  • 两向量的数量积（点积）
    • 几何意义
      • 求余弦
      • 投影
    • 物理意义
      • 求做功
    • 运算律.
      • (1)交换律
      • (2)分配律
      • (3)结合律
    • 定理(坐标表达式)
      • a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂)，则a·b=x₁·x₂+y₁·y₂
    • 性质
      • a⊥b等价于a·b=0
      • 零向量与任意向量的数量积为0
  • 两向量的向量积
    • 模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）
    • 方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）
    • 坐标运算
      • 利用三阶行列式
    • 运算律
      • 反交换律
      • 分配律
      • 结合律
  • 向量的混合积
    • 三重积，又称混合积，是三个向量相乘的结果。向量空间中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积，分别称作标量三重积和向量三重积。设 a ，b ，c 是空间中三个向量，则 (a×b)·c 称为三个向量 a ，b ，c 的混合积，记作[a b c] 或 (a,b,c) 或 (abc)。
    • 任意对换两个向量的位置，标量三重积与原来相差一个负号
    • • 利用行列式的特性，可知顺序置换向量的位置不影响标量三重积的值
    • 若任意两个向量相等，则标量三重积等于零
    • 几何意义
      • 几何上，由三个向量定义的平行六面体，其体积等于三个标量标量三重积的绝对值
        • 四面体体积为六分之一
• 平面及其方程
  • 曲面方程与空间曲线方程的概念
  • 平面的点法式方程
    • 若平面方程为Ax+ By+ Cz.+D=0，法向量为（A,B,C)
    • 求平面方程
      • 混合积为零
  • 平面的一般方程
    • 三元一次方程(线性方程) Ax+ By +Cz+ D 0称为平面的一般方程
      • D=0过原点
      • 与平面、坐标轴的平行关系
      • ABC不全为零
  • 平面的截距式方程
    • 设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0，取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1 它与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，其中，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。
  • 两平面的夹角
    • 二面角
    • 法向量夹角
      • [0,二分之Π]
      • 利用法向量、数量积求
  • 点到平面的距离
    • 向量法
• 空间直线及其方程
  • 空间直线的一般方程
  • 平面束方程
    • 通过空间直线L的平面有无穷多个，将通过空间直线L的所有平面的集合称为过直线L的的平面束
  • 空间直线的对称式方程
    • • 方向向量
      • 方向数
  • 参数方程
    • 子主题
  • 直线与平面的夹角
    • 利用法向量和方向向量数量积
  • 点到直线的距离
    • 混合积除以两方向向量向量积模长
    • 两直线上各取一点，该向量与两方向向量混合积为零，则直线共面
• 曲面及其方程
  • 曲面的一般方程
  • 旋转曲面
    • 一条曲线绕定直线旋转一周,所形成的曲面称为旋转曲面,定直线称为它的 旋转轴,动曲线称为它的母线.
    • • 这是关于 xyz的二次齐次方程，这锥面叫做二次锥面，当a=b时，就是圆锥面
    • 旋转抛物面.
    • 单叶旋转双曲面
    • 双叶旋转双曲面
  • 柱面
    • 设动直线L沿曲线T平行移动,则它所形成的轨迹称为柱面,称T为准线, L为母线.
  • 二次曲面
    • 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面,共有九大类.
      • 椭圆柱面
      • 双曲柱面
      • 抛物柱面
      • 椭圆锥面
      • 椭球面
      • 单叶双曲面
      • 双叶双曲面
      • 椭圆抛物面
      • 双曲抛物面
        • 又称马鞍面
• 空间曲线及其方程
  • 空间曲线的一般方程
    • 空间曲线T可视为两个曲面的交,若已知两个曲面的方程,此方程组称为T的一般方程.
  • 空间曲线的参数方程
  • 曲面的参数方程
  • 空间曲线在坐标面上的投影
    • 以空间曲线T为准线,平行于z轴的柱面S,称为T关于xOy面的投影柱面, 它与xOy面的交线T称为T在xOy面上的投影曲线.
      • 消去一个变量
  • 由空间曲线的一般方程建立参数方程