行列式

这是一篇关于行列式的思维导图，主要内容包括：概念，计算，性质，矩阵积的行列式，克拉默法则，矩阵可逆条件与克拉默法则，矩阵的秩。

行列式

• 概念
  • 表示一个数，对角相乘再相减
  • 几何意义：表示两个向量为邻边时的平行四边形的有向面积
    • 线性变换前后的面积比
• 计算
  • 代数余子式
  • 余子式
    • 与对应的某行或某列元素无关
      • n阶行列式是n！项的和
        • 一阶行列式|a|与绝对值不同
  • 对角，下，上三角行列式均为对角线元素乘积之和
  • 范德蒙德行列式
• 性质
  • 行列式的值转置后不变
  • 互换两行（列）元素，行列式变号
    • 两行（列）相同时，行列式为0
  • 计算：任一行元素与其代数余子式的乘积和
    • 拉普拉斯展开定理
  • 某一行（列）的公因子可以提出来
    • 有两行（列）成比例，值为0
  • 按照加法原则，可拆分成多个行列式
  • 某一列的N倍加到另外一列上，值不变
• 矩阵积的行列式
  • A为n阶方阵，P是n阶初等矩阵，则|PA|=|P||A|=|AP|
  • A,B为n阶矩阵，则|AB|=|A||B|
  • 若|A|！=0，则A可逆。
• 克拉默法则
  • a1x+a2y=b.D为系数矩阵，用B依次替换系数矩阵的每一行得到D1，D2，则方程组的解为D1/D;D2/D...
• 矩阵可逆条件与克拉默法则
  • 伴随矩阵A*
    • 由矩阵每一个元素的代数余子式组成的矩阵
      • AA*=A*A=|A|I
  • 矩阵可逆的充要条件
    • A的逆矩阵等于A的伴随矩阵除以A的行列式
    • A，B同阶方阵，且A不可逆，则AB，BA都不可逆
    • 若A可逆，则|A的逆|=|A|的逆
  • 克拉默法则
  • 设A为n阶矩阵，则线性齐次方程组AX=0只有零解的充要条件是|A|！=0
    • 齐次即常数项均为0，所以0乘以对应的代数余子式之和为0
• 矩阵的秩
  • 子式的概念
    • 在一个矩阵里取任意k行k列，交汇处的元素组成一个K阶子式
  • 秩即最大子式的阶数
    • 矩阵转置前后秩不变
      • 0矩阵的秩为0，非0矩阵的秩不为0
  • m*n矩阵，r=n列满秩矩阵,r=m行满秩矩阵,n阶方阵，r<n降秩矩阵,r=n满秩矩阵
    • n阶方阵A是满秩矩阵当且仅当A可逆
  • 矩阵秩为r的充要条件是有一个r阶子式不为0，并且r+1阶子式均为0
  • 求秩
    • 行阶梯形矩阵
      • 零行位于矩阵的下方，每一行的非0首元沿右下排列
      • 行最简阶梯型矩阵
        • 每行非0首元为1，且其所在列其他元素均为0
    • 矩阵经过初等变换后，其秩不变
      • 两个同阶矩阵的秩相同时，这两个矩阵等价
      • 一个矩阵左乘或者右乘可逆矩阵，秩不变
    • 将矩阵化为行阶梯形矩阵
      • 非0行数即为矩阵的秩
    • 两个矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩，并且可以推广到有限个矩阵相乘