第九章 多元函数微分法及其应用

高数，内容包括多元函数定义、极限与连续性的描述，偏导数与高阶偏导数的定义及性质，全微分的定义及可微条件，链式法则的应用，隐函数求导公式，方向导数与梯度的定义，多元函数极值及拉格朗日乘数法等。

第九章 多元函数微分法及其应用

• 9.1 多元函数的基本概念
  • 平面点集与n维空间
    • 平面点集：在直角坐标系下，平面可以表示为所有点(x, y)的集合。
    • n维空间：由n元数组(x₁, x₂, ..., xₙ)构成的空间，其中每个xᵢ都是实数。
  • 多元函数的概念
    • 定义：设D为n维空间中的一个点集，若对于D中的每个点(x₁, x₂, ..., xₙ)，都有一个确定的实数z与之对应，则称z为定义在D上的n元函数，记作z = f(x₁, x₂, ..., xₙ)。
  • 多元函数的极限
    • 定义：设函数f(P)在点P₀的某个去心邻域内有定义，若当P趋近于P₀时，f(P)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为f(P)当P趋近于P₀时的极限，记作lim_{P→P₀} f(P) = A。
  • 多元函数的连续性
    • 定义：若函数f(P)在点P₀处的极限存在且等于f(P₀)，则称f(P)在P₀处连续。
    • 连续函数的性质：多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）以及复合函数仍为连续函数。
• 9.2 偏导数
  • 偏导数的定义
    • 定义：设函数z = f(x, y)在点(x₀, y₀)的某个邻域内有定义，固定y = y₀，得到一个关于x的一元函数，若该函数在x = x₀处可导，则称其导数为f在(x₀, y₀)处对x的偏导数，记作fₓ(x₀, y₀)。
  • 高阶偏导数
    • 定义：若函数z = f(x, y)的偏导数fₓ和fᵧ在区域D内可导，则它们的偏导数称为f的二阶偏导数，记作fₓₓ、fₓᵧ、fᵧₓ、fᵧᵧ等。
• 9.3 全微分
  • 全微分的定义
    • 定义：若函数z = f(x, y)在点(x, y)处的全增量Δz可以表示为AΔx + BΔy + o(ρ)，其中A和B不依赖于Δx和Δy，ρ = √(Δx² + Δy²)，则称f在该点处可微，AΔx + BΔy称为全微分，记作dz。
  • 可微的条件
    • 定理：若函数f在点(x, y)处的偏导数存在且连续，则f在该点处可微。
• 9.4 多元复合函数的求导法则
  • 链式法则
    • 定理：设z = f(u, v)具有连续偏导数，且u = u(x), v = v(x)可导，则复合函数z = f(u(x), v(x))可导，且dz/dx = fᵤ
    • du/dx + fᵥ dv/dx。
  • 全微分的形式不变性
    • 定理：无论中间变量还是自变量，全微分的形式保持不变，即dz = fᵤ du + fᵥ dv。
• 9.5 隐函数的求导公式
  • 一个方程的情形
    • 定理：设F(x, y)在点P(x₀, y₀)的邻域内有连续偏导数，且F(x₀, y₀) = 0，Fᵧ(x₀, y₀) ≠ 0，则方程F(x, y) = 0在P的邻域内唯一确定连续可导的函数y = y(x)，满足y(x₀) = y₀，且dy/dx = -Fₓ/Fᵧ。
  • 方程组的情形
    • 定理：设方程组F(x, y, u, v) = 0和G(x, y, u, v) = 0在点P(x₀, y₀, u₀, v₀)的邻域内有连续偏导数，且满足一定的条件，则方程组在P的邻域内唯一确定一组连续可导的函数u = u(x, y)，v = v(x, y)，满足u(x₀, y₀) = u₀，v(x₀, y₀) = v₀。
• 9.6 多元函数微分学的几何应用
  • 空间曲线的切线与法平面
    • 切线方程：对于参数方程表示的空间曲线，其切线方程可由导数向量的方向给出。
    • 法平面方程：过曲线上某点且与切线垂直的平面称为法平面。
  • 曲面的切平面与法线
    • 切平面方程：曲面在某点处的切平面方程由该点处的法向量确定。
    • 法线方程：过曲面上某点且与切平面垂直的直线称为法线。
• 9.7 方向导数与梯度
  • 方向导数
    • 定义：函数在某点沿某一方向的变化率称为方向导数，记作∂f/∂l。
  • 梯度
    • 定义：梯度是方向导数取得最大值的方向，记作grad f或∇f。
• 9.8 多元函数的极值及其求法
  • 多元函数的极值
    • 定义：函数在某点的函数值大于（或小于）其邻域内所有其他点的函数值，则称该点为极大值点（或极小值点）。
  • 条件极值与拉格朗日乘数法
    • 拉格朗日乘数法：在约束条件下求函数极值的方法，通过引入拉格朗日乘子将约束条件与目标函数结合，形成拉格朗日函数，求其驻点。