导图社区 随机过程导论
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复旦大学基础物理实验2024年知识纲要,《基础物理实验》是一本系统介绍与大学物理实验相关的数据处理知识、常用仪器设备的原理和使用方法、以及基本测量方法的教材。内容丰富、系统性强、实用性高的物理实验教材,适合作为高等理工院校各专业的实验物理课程的教材或参考书,也适合涉及物理学的实验技术人员参考。
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随机过程导论
随机过程基本概念
随机过程的定义
随机过程其他概念
Poisson过程
定义
Poisson流
考虑某服务系统为顾客提供服务,如 (i) 电信局电话交换机;(ii) 大型超市停车场(iii)飞机零件更换中心。
顾客来自不同地方,各自是否需要服务是随机的,并且相互独立
在不同时间段前来寻求服务的顾客量基本相同
系统提供服务不占用时间,但不能同时为两名以上顾客提供服务
系统遵循“先来后到”基本原则,顾客依序排队等待服务
这样的顾客流就是Poisson流,像质点一样
要求
定理
泊松过程遵循什么分布规律呢?
性质
数字特征
联合分布
条件分布
样本曲线
例题
Poisson过程的可加性
到达时刻的条件分布
Poisson 流的一个基本特点是:顾客之间相互独立,每个顾客随时可能到达服务系统.固定 t >0。在 N(t)= 1 的条件下,该顾客在 [0,t] 内每个时刻都有可能到达,因此 S 服从 0,t 上均匀分布。类似地,在 N(t)= 2 的条件下,两名顾客在 [0,t] 内每个时刻都有可能到达,且相互独立,但是 S1 总是表示先到达顾客的时刻,S2 表示后到达顾客的时刻,因此 S1 S2分别为 [0,t] 上两个独立同分布、均匀随机变量的最小值和最大值。更一般地,可以猜想: 在 N(t)= n 的条件下,n 个顾客先后到达时刻 S1 S2,……,Sn 与 [0,t] 上n 个独立同分布均匀随机变量的次序统计量具有相同分布。
Poisson 驱动:事件到达服从泊松过程
事件贡献叠加:每个事件带来一项随机贡献(可依到达时刻衰减、加权等)
期望计算:常用 Campbell 公式或“先给定点数→均匀分布→再去条件”的思路,一步求出总体期望
复合Poisson过程
证明
非齐次Poisson过程
不遵循平稳增量假设
Markov过程
Markov链
Markov链基本性质
Markov链定义
无特殊声明,本章仅讨论齐次Markov链
行和一定等于0,代表所有的转移可能,列和不一定等于0
Markov链的两种表示方法
Markov链的分布:以状态空间的流变为视角
m步转移概率:以转移概率本身的变化为视角
状态空间分解
互通类
不可约:任意两个状态都互通
周期
直观理解:“固定节奏”——从自己出发,每隔几步能回到自己状态一下
举例
常返状态
常返性和瞬时性
进一步丰富常返性的定义
引入首达概率
引入平均返回时间
首达概率非常难计算,我们希望转化成转移概率
转移概率和首达概率的关系
更新常返性的定义
平稳Markov链
极限分布
极限分布也不一定存在,先用一个例子来直观地理解
如何求解极限分布?
如上面的例子的方法,计算特征根,写出特征分解,直接从形式上得到转移概率矩阵的n次方
引入平稳分布
平稳分布
根据时间平移不变异性,这就是我们最终要的极限分布
Galton-Watson 分支过程
模型简介
模型
示意图
Zn显然是一个马尔可夫链
概率分布
全概率公式
生成函数
生存与灭绝概率
Brown运动
Brown运动及基本性质
Brown运动定义
基本性质
期望和方差
n阶矩
自相关函数
分布
则表明Brown运动是正态过程
进一步地,根据联合正态分布的性质,其任意有限线性组合都是正态分布
Brown运动的变体
如何判断一个过程是Brown运动?
Brown运动的常见变体
Brown桥
反射Brown运动
几何Brown运动
积分过程
最大值分布
最大值
反射原理
首中时