一 函数极限、连续性、无穷小比较

"极限是微积分的基石！本文系统梳理极限核心知识：从数列极限（ε-N定义）到函数极限（连续性与间断点判断），涵盖夹逼定理、洛必达法则、泰勒公式等经典方法，特别解析递推关系、n项和/积、无穷小比较等难点重点提示：处理极限时注意左右极限区别、先证后求技巧，以及中值定理的巧妙应用最后强调闭区间连续函数的三大性质有界性、介值定理与最值定理，帮你构建完整的极限思维框架"

一

• 函数概念
  • 复合函数 y=f[g(x)]
    • 内层g(x)的值域在f(x)的定义域内
    • 不是任意两个函数都能复合
  • tips
    • 导数和函数-联系--拉格朗日
• 性质
  • 有界性
    • • |f(x)|≦M (M为正数）
        • 既有上界又有下界
        • 讨论有界性必须要指明区间
    • 判定
      • 闭区间连续-有界
      • 开区间连续-有界不成立
        • 反例
      • • 两个端点极限存在
        • 题型--开区间上有界求参数»证明左右极限存在
      • 若f(x)在有限区间(a,b)内可导且f′(x)有界，则f(x)在(a,b)内有界.
  • 单调性
    • 常通过求导
    • 定义
      • 单调增
        • 根的个数
      • 单调不减
      • 应用
        • 方程组个数
        • 不等式
          • • 左开右闭
    • 判定
      • f(x)在区间I可导
        • 定义
        • 导数
  • 奇偶性
    • 设f(x)定义域D关于原点对称
    • 奇函数f(-x)=-f(x)
      • 原点对称
        • 当f(x)在x=0处有定义时，必有f(0)=0
          • 联想
            • 拉格朗日中值定理f(b)-f(a) 一般有f(a)=0=f(0)
            • 加减法中0不体现 乘除法中1不体现
      • 常见奇函数
    • 偶函数f(-x)=f(x)
      • Y轴对称
        • f'(0)存在时，必有f'(0)=0.
      • 函数y=f(x)的图形关于直线x=T对称
        • 充分必要条件
          • f(x)=f(2T-x)或f(x+T)=f(T- x).
      • 在0点的展开式只有偶次项
        • 泰勒公式，偶函数的奇次项都是0，只有偶次项
        • 因为奇函数在0点等于0
      • f(x)+f(-x)
    • 判定
      • • 单向
        • • 唯一一个是奇函数
      • • 双向
        • • 都是 偶函数
  • 周期性
    • T＞0，任意x，恒有f(x+T)=f(x)
    • tips
    • 判定
      • f(x)可导周期函数，f'(x)也是以T的周期函数
• 反函数
  • 单调必有反函数
    • 不能反过来说反函数必单调
  • 反解出x=多少y
    • 反函数与原函数是x、y互换的结果
    • 分段函数在求反函数时，结果也应该换上y的取值范围
• 极限
  • 数列极限（ε-N）
  • 极限的本质
    • 数列与常数A无限接近
  • 注意
    • 需要分左右极限求极限
      • 分段函数分界点--分界点两侧函数不同
        • 包括带绝对值的！！
    • 定理
  • 函数极限
    • 函数自变量趋于有限值的极限ε一δ（去心邻域）
    • • • 仅与去心邻域内的值有关
  • 极限的性质
    • 局部有界性
      • • 收敛
          • 极限存在
          • 有界
        • 无界➡️发散，反之不行
        • 局部形态
    • 保号性
      • • 极限正-函数正
          • 函数不负-极限不负
        • 第二条后面必须有=
  • 极限值与无穷小之间的关系（充要条件）
    • 相差一个无穷小
  • 极限存在准则
    • 夹逼定理
      • n项和
      • 单调有界的数列必有极限
        • 递推关系
• 无穷大和无穷小
  • 无穷小
    • 有限无穷小的和差积仍=无穷小
    • 有界Ⅹ无穷小=无穷小
  • 无穷大
    • 常用无穷大的比较
    • 注意
      • 无穷大✖️无穷大＝无穷大
        • 无穷大量➕无界变量＝无穷大量
      • 无界✖️无界＝无界
    • 无穷大量与无界变量的关系
      • 数列是无穷大量
      • 数列是无界变量
    • 无穷大与无穷小的关系
• 求极限方法
  • 有理运算
    • 极限的加减乘除＝＝＝极限值的加减乘除
      • 拆开的前体必须极限存在
    • 极限非零的因子可先求出
  • 基本极限求极限
  • 等价无穷小替换
  • 洛必达法则
    • 适用范围
      • • ∞/∞
          • 洛必达法则
          • 分子分母同时÷最高阶的无穷大
            • 选择填空只看最大的系数比（找老大）
          • tips
            • 变上限积分---洛必达法则
        • ∞-∞
          • 分式差-通分化为0/0
          • 根式差--有理化
          • 提无穷因子--等价代换/变量代换/泰勒公式
        • 0·∞
          • 化为0/0或∞/∞
          • 谁都不好搬到下面
            • 无穷小等价交换
        • • 化为 幂指函数
  • 泰勒公式
  • 夹逼定理
    • 有限项可以一项一项极限加和，无穷不可以
  • 中值定理求极限
    • 拉格朗日（同一函数，两点之差）
    • 积分中值定理
• 数列极限
  • 不能直接用洛必达--改成函数极限n-x
  • n项和或积的极限
    • 看分母（先处理分母，在处理分子
    • 计算积或和→求极限
    • 夹逼定理
      • 变化部分最大值与其主体部分相比-次量级---夹逼
    • 定积分
      • 变化部分最大值与其主体部分（不变的）比同量
  • n项连乘的数列极限
    • 夹逼定理
    • 取对数化为n项和
  • • 递推关系
    • 方法1（有单调性）
      • 先证后求
    • 单调性的判断
      • • 单调递增函数，自变量变化趋势与函数变化趋势相同
    • 方法2（不具有单调性/单调性难以判断）
  • tips
• 确定极限式中的参数
  • tips
    • 求极限-确定参数
    • 逐个击破，提出无穷因子
    • 常用技巧
      • 找老大思想
  • 已知含参数的极限
    • 拆开分离出肯定存在极限的部分
• 无穷小的比较
  • 偶函数的泰勒展开式中只有偶次项
• 连续
  • 函数的连续性
    • 自变量微小变动，函数也微小变动
      • 有定义，但不连续
    • f(x)在X0连续
  • 连续函数的运算与初等函数的连续性
    • 连续函数和差积，复合---连续
  • 闭区间上连续函数的性质
    • 闭区间连续
      • 有界性
      • 闭区间上
        • 有界
        • 有max和min
          • 最值性
    • 闭区连续
      • 零点定理
        • 证明根的存在
      • 开区间
    • 闭区间连续
      • 介值定理
        • （可以取到介于max和min之间的一切值）
      • 开区间
        • 两个端点不相等
    • 注意
      • 证明题技巧
        • 零点定理搭配构造函数
        • 都移到同一侧构造函数-零点定理
        • 观察题干
          • 不超过。。。
            • 设置闭区间的右端点
          • 正根
            • 设置闭区间左端点为0
        • 题干出现分数
          • 介值定理
  • 在x=a处函数值≠极限值，x=a为f(x)间断点
    • 第一类间断点
      • 可去间断点
        • f(a-0)=f(α+0)≠f(α)
        • 可重新定义
      • 跳跃间断点
        • f(a-0)≠f(α+0)
      • 左右极限都∈
        • 左右极限无区别，就不用分左右极限
    • 第二类间断点
      • 无穷间断点
        • 至少一个极限=无穷
      • 振荡间断点
      • f(a-0),f(α十0)至少有一个不存在
  • tips
    • 多画画图