考研高数-函数概念及形态

"数学之美：从函数到反函数的深度解析！掌握函数的定义域、对称性及极限，理解反函数的存在条件与性质关键点：单调性、周期性、奇偶性如何影响函数形态复合函数的限制与拉格朗日定理的应用特别注意：导数的周期性、有界性判定，以及常见奇偶函数特征通过求导与反解，揭示函数与反函数的互换本质分段函数反解时需同步处理y的范围，单调函数必有反函数（但逆命题不成立）" 。

函数概念及形态

• 函数概念
  • 函数y=f(x)
    • 两个要素
      • 定义域
      • 对应规则
  • 复合函数 y=f[g(x)]
    • 内层g(x)的值域在f(x)的定义域内
    • 不是任意两个函数都能复合
  • tips
    • 导数和函数-联系--拉格朗日
• 性质
  • 有界性
    • • |f(x)|≦M (M为正数）
        • 既有上界又有下界
        • 讨论有界性必须要指明区间
    • 判定
      • • 闭区间连续-有界
        • 开区间连续-有界不成立
          • 反例
      • • 两个端点极限存在
        • 题型--开区间上有界求参数»证明左右极限存在
      • 若f(x)在有限区间(a,b)内可导且f′(x)有界，则f(x)在(a,b)内有界.
  • 单调性
    • 常通过求导
    • • 某点函数＞0推不出存在x0的邻域，函数在此邻域单增
    • 定义
      • 单调增
        • 根的个数
      • 单调不减
      • 应用
        • 方程组个数
        • 不等式
          • • 左开右闭
    • 判定
      • f(x)在区间I可导
        • 定义
        • 导数
  • 奇偶性
    • 设f(x)定义域D关于原点对称
    • 奇函数f(-x)=-f(x)
      • 原点对称
        • 当f(x)在x=0处有定义时，必有f(0)=0
          • 联想
            • 拉格朗日中值定理f(b)-f(a) 一般有f(a)=0=f(0)
            • 加减法中0不体现 乘除法中1不体现
      • 常见奇函数
        • • F(x)=f(x)-f(-x)必为奇函数
    • 偶函数f(-x)=f(x)
      • Y轴对称
        • f'(0)存在时，必有f'(0)=0.
      • 函数y=f(x)的图形关于直线x=T对称
        • 充分必要条件
          • f(x)=f(2T-x)或f(x+T)=f(T- x).
      • 在0点的展开式只有偶次项
        • 泰勒公式，偶函数的奇次项都是0，只有偶次项
        • 因为奇函数在0点等于0
      • 常见偶函数
        • • f(x)+f(-x)
    • 判定
      • • 单向
        • 连续偶函数-原函数-唯一一个是奇函数
      • • 双向
        • 连续奇函数-原函数-都是 偶函数
    • tips
  • 周期性
    • T＞0，任意x，恒有f(x+T)=f(x)
    • tips
    • 判定
      • f(x)可导周期函数，f'(x)也是以T的周期函数
• 反函数
  • 单调必有反函数
    • 不能反过来说反函数必单调
  • 反解出x=多少y
    • 反函数与原函数是x、y互换的结果
    • 分段函数在求反函数时，结果也应该换上y的取值范围