导图社区 考研高数-二、导数与微分
导数与函数分析:从基础到应用的全面指南 开头:掌握导数,就掌握了函数变化的钥匙! 内容结构:从导数定义与可导性判断出发,涵盖求导法则、高阶求导与微分应用深入极值、单调性、凹凸性等函数性质分析,结合微分中值定理与泰勒公式最后拓展至实际问题的极值与渐近线求解包含关键技巧(如对数求导、分段函数处理)与易错点提醒,助你系统理解导数与函数的联系。
"探索多元微分极值的奥秘:从理论到实战!本文梳理多元微分核心内容:1极值基础定义、必要条件(驻点、偏导不存在点)与充分条件2极值求解三板斧拉格朗日乘数法处理条件极值、边界最值比较法、直接代入简化问题3关键技巧注意导数零点两侧符号变化,综合判定驻点性质带你系统掌握函数极值分析框架,轻松应对复杂优化问题!"
"掌握隐函数求导的核心技巧,轻松破解复杂方程!本文系统梳理隐函数求导方法,详解复合函数求导法则与代公式应用,剖析隐函数存在定理一与定理二的适用条件,并延伸至微分方程不变性原理内容涵盖:1隐函数求导步骤分解 2两大存在定理对比 3复合函数与微分方程的联动解法 4公式代换实战要点,助你构建完整的微积分推导体系"。
"定积分应用大全:从几何到物理,一文掌握核心技巧!内容涵盖平面曲线弧长、旋转体体积、不规则图形面积等几何应用,以及变力做功、水压力、引力等物理场景详解元素法、区间可加性原理,提供直角坐标/极坐标/参数方程三种计算路径,特别包含绕X/Y轴旋转的立体体积公式重点解决非均匀连续区间的分布问题,教你快速识别‘条、段、带、扇、片壳’等微元形态,灵活选择积分变量附椭圆面积等经典案例,助你精准把握积分建模要领"
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民法分论
日语高考動詞の活用
导数
概念
切线问题
切线是割线的极限位置
法线方程
表达方式
注意这个形式
动点-静点
左极限
几何意义
函数在某点的切线的斜率
微分
切线上的增量 函数改变量的近似值
△y-曲线上纵坐标增量;微分dy-切线上纵坐标增量
用线性代替非线性,局部切线代曲线段
定义
可导必连续
不连续一定不可导
某邻域可导
三种连续不可导
可导与有切线
导数定义判断可导性
可导性关系
绝对值翻上去是尖点不可导
tips
连续➡️极值=函数值
求导法则
对数求导
多个因式
乘除、乘幂
幂指数函数
先取对数在求导
分段函数复合的函数
分界点处
先判断在分界点导数是否存在
等号在哪边,可以直接求导
相关变化率
找出两个函数的关系
两端对t求导
代入其中一个与t的关系
不存在✖️0🙅🏻♂️=0
导数定义拆开前提
必须都存在(凑导数定义形式)
隐函数
某点的倒数
x= ,y= ,→求导→带入xy
分段函数
交汇点不理它
高阶求导
有理函数-无公式
三角函数-降幂-倍角公式-代公式
微分中值定理
导数与函数的关系
函数与导数连接起来
费马定理
可导
有极值
罗尔定理
拉格朗日定理
曲线连接a、b的弦与曲线上某一点的切线斜率相等
推论
有限增量定理
柯西定理
参考参数方程求导
g(x)的倒数在每一点处都不等0
洛必达法则
等价无穷小替换
化简
泰勒公式
皮埃诺余项
只有余项的定性描述,不能定量
适用范围小
局部
极限
极值
条件
本质多项式逼近函数;用未知点表示已知点
拉格朗日余项
定量
整体
最值
不等式
四大中值定理的关系
前面三大定理是建立 函数与一阶导数的关系
泰勒是建立函数与高阶导数的关系
曲线的渐近线
斜渐近线
注
单调性、极值、最值、凹凸
函数单调性、极值、最值
求极值
求导找驻点
做判定
带入原方程
单调性
局部性态
通常导数=0→函数的驻点
驻点不一定为极值点
”可导“函数极值点==驻点
对于可导函数--极值只能在驻点上取得,极值点必为驻点
极值点
驻点 导数=0
导数不存在的点
第一充分条件
一个必要条件
三个充分条件
一阶导=0
一阶导数两侧异号
二阶可导
二阶导正负不同
第三充分条件
凹凸和拐点
定义(凹)
定理一
定理二
曲线的拐点
判定
必要条件
f''(x)=0或f(x)在x0连续
第二充分条件
三阶导数不等于0
可导函数-极值点和拐点不可能不一样
函数的最值
驻点,不可导点,端点
以上各点函数值,最大即为函数最大值
最大值和最小值的应用题
建立目标函数➕上面步骤
极大-最大;极小-最小