考研高数-八、多元函数微分学

"探索多元函数微分的奥秘！从极限、连续到偏导与全微分，掌握二元函数的核心工具重点包括：用定义证明可导与可微的技巧，处理分段分界点的关键步骤极限求解中次幂比较法与y=kx代换的经典应用隐函数求导的链式法则与微分方程不变性以及极值问题的两大解法拉格朗日乘数法和边界值分析特别提示：多元微分本质是二元极限，而偏导实为一元极限的延伸。"

多元函数

• 极限
  • 定义
    • • 记号
  • 注意
    • 要求点(x,y)以任意方式趋近点(x0,y0),函数f(x,y)都趋于同一确定的值A
  • 与一元函数对应的性质
    • 局部有界
    • 保号性
    • 有理运算
    • 极限与无穷小
    • 夹逼性
    • 无洛必达
  • 求极限常用方法
    • 是否存在先看上下的次幂
      • 一般上＞下——绝对值夹逼=0
      • 一般上下次幂相同，带入y=kx——不存在
    • 绝对值+夹逼定理
    • 证明极限不存在的方法
      • 过这点的直线的极限y=kx
• 连续
  • 函数f(x,y)在D上有定义，点P(x0,y0)属于D
    • • 重极限
        • 很强是二元极限，偏导数是一元极限
      • 极限值=函数值
• 偏导数
  • 定义（记号）
  • 本质
    • 一元函数求导
      • x偏导数就是y=y0时，一元函数f（x，y0）处的导数
  • 高阶偏导数
  • 注意
    • 两个f''xy与f''yx混合偏导连续☞与求导顺序无关且两个混合偏导相等
  • 偏导数计算方法
    • 先代后求
      • 先求后代
        • 利用定义
          • 分段函数分界点
• 全微分
  • 定义
    • 必要条件
      • • 且
    • 充分条件
      • • 二元极限
  • • 四种等价形式
    • 有一组AB使其成立
  • • 用定义证明可微
    • 证连续
    • • 证可导（分段分界点，定义）
    • 证可微性
      • 证明可微
  • • • • 固定一个函数，变成一条直线
        • 偏导数存在只与x=x₀,y=y₀线上的点有关（形同一元导函数） 而连续动点要以任意方式趋向f(x₀,y₀)点的函数值
      • 而一元微分，x附近正负全部可以取到
      • 多元函数求导啥也推不出
• 多元函数求导法则
  • 复合函数求导的链式法则
    • x有几条路线就几个相加；一条路线几个分支几个相乘
  • 例题
  • 全微分形式不变
    • 一元
    • 无论是把z看作是自变量xy的函数，还是看做中间变量uv的函数==z的全微分形式都是一样的（不必在意变量是中间变量还是自变量都没关系）
  • 例题
• 隐函数求导
  • 隐函数存在定理一
  • 隐函数存在定理二
  • 隐函数求导方法
    • 代公式
    • 复合函数求导法则
    • 微分方程不变性
• 8.8 多元微分的极限及其求法
  • 定义
  • 极值的必要条件
    • • 驻点
    • • 上面
        • 0点的导数=0，但是0点左右有正有负
  • 可能极值点
    • 驻点
    • xy偏导不存在的点
  • 极值的充分条件
  • 条件极值（拉格朗日乘数法）
    • 对xyzλ分别求偏导=0
  • 连续函数在闭区间上最大最小值的问题
    • 1.求f（x,y）在D上可能的极值点
    • 2.求f（x,y）在D的边界上的最大值和最小值
    • 3.比较
  • 函数条件极值问题
    • 简单问题代入
    • 一般问题用拉格朗日乘数法