高等数学——一元函数的极限与连续

高等数学——一元函数的极限与连续 超全的数学一元函数的极限与连续的思维导图，帮你把书从厚读薄，不管你是大一新生或是考研老登，抑或是竞赛大佬都可以不妨看看，下载后可以自主编辑批注，主包持续更新中（主要是主包正在准备下学年的国赛）。

工科数学分析

• 一元函数的极限与连续
  • 实数集及其完备性
  • 数列极限
    • 数列极限的ε-N定义
      • 设{an}为数列，a为常数。若对任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，恒有|an-a|<ε,则称数列{an}以a为极限，或称数列{an}收敛于a，记为lim(n→∞)an=a,或an→a(n→∞).
    • 数列极限的性质
      • 唯一性：数列收敛，则其极限值必唯一
      • 保序性：设lim(n→∞)an=a,lim(n→∞)bn=b。若a<b,则存在N∈N+,使得当n>N时，an<bn。
      • 有界性：若数列收敛，则其必为有界数列
      • 保号性：设lim(n→∞)an=a. (1)若a>0，则∃N∈N+，使得当n>N时，恒有an>a/2>0。 (2)若a<0，则∃N∈N+，使得当n>N时，恒有an<a/2<0。
      • 绝对值性质：若lim(n→∞)an=a,则数列{|an|}也收敛，且lim(n→∞)|an|=|a|。
      • 四则运算法则
      • 夹逼定理：设存在N0∈N+，使得一下两个条件同时成立： (1)an≤bn≤cn，∀n>N0； (2)lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=a, 则数列{bn}收敛，且lim(n→∞)bn=a。
      • Stolz公式：设数列{yn}为严格单增的正无穷大量，且lim(n→∞)(xn+1 - xn)/(yn+1 - yn)=a，其中a为有限数或为+∞或为-∞，则必有lim(n→∞)xn/yn=a。
    • 数列极限的判敛法则
      • 单调有界原理
        • 单增且有上界(单减且有下界)的数列必收敛
      • 闭区间套定理
      • 致密性定理
        • 数列与其子列的敛散性
          • 若数列{an}收敛于a，则它的任意子列也收敛，且都收敛于a。
          • 设数列{an}有一个子列发散，或{an}有两个子列都收敛，但其极限值不相等，则数列{an}发散
        • 致密性定理
          • 有界数列必有收敛的子列
        • 拉链法则
          • lim(n→∞)an=a←→lim(n→∞)a2n-1=lim(n→∞)a2n=a
        • 无界数列的性质
          • 若数列{xn}无界，则存在其子列{xnk}，使得lim(n→∞)xnk=∞
    • 数列极限的柯西收敛准则
      • 定义：若数列{an}满足：∀ε>0，总存在N∈N+，使得当m，n>N时，恒成立|an-am|<ε，则称数列{an}为Cauchy列或基本列
      • 定理：数列{an}收敛的充要条件是{an}为Cauchy列
  • 函数极限
    • 函数极限的概念
      • x趋近于无穷大函数f(x)的极限
        • 设函数f(x)在|x|≥α(α∈R)时有定义，α∈R为一常数。若∀ε>0,∃X≥α，使得∀|x|>X，恒有|f(x)-α|<ε，则称当x→∞时函数f(x)以α为极限，记为lim(x→∞）f(x)=α，或f(x)→α(x→∞)。
      • x趋近于有限值函数f(x)的极限
        • 设函数f(x)在点x0的某去心邻域No(x0,δ0)内有定义，α为常数。若∀ε>0，∃δ∈(0,δ0]，使得当0<|x-x0|<δ时，恒有|f(x)-α|<ε，则称f(x)在点x0处以α为极限，记为lim(x→x0）f(x)=α，或f(x)→α(x→x0)。
      • 函数单侧极限的ε-δ定义
        • 设函数f(x)在点x0的某左邻域No(x0-δ0,x0)内有定义，α为常数。若∀ε>0，∃δ∈(0,δ0]，使得当0<x-x0<δ时，恒有|f(x)-α|<ε，则称f(x)在点x0处以α为左极限，记为lim(x→x0-）f(x)=α，或f(x0-0)→α。(类似可以定义右极限)
    • 函数极限的性质
      • 唯一性：若lim(x→∞)f(x)存在，则极限值必唯一
      • 局部有界性：若lim(x→∞)f(x)存在，则函数f(x)在点x0的某去心邻域内有界，即存在常数δ>0和L>0，使得当x∈No(x0,δ)时，恒有|f(x)|≤L。
      • 局部保序性：若lim(x→∞)f(x)=a，lim(x→∞)g(x)=b且a<b,则必∃δ>0,使得当x∈No(x0,δ)时，恒有f(x)<g(x)。
      • 海涅定理：设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，则lim(x→∞）f(x)=α的充要条件是对函数f(x)定义域中任何以x0为极限的数列{xn}(xn≠x0，n=1，2，......)，相应的函数值数列{f(xn)}都收敛于α。换言之，对满足xn≠x0(n=1,2，.......)的任何点列{xn},只要lim(x→∞）xn=x0，就有lim(x→∞）f(x)=α。
      • 四则运算法则
        • 函数极限的四则运算
        • 复合函数的极限运算法则
    • 函数极限的判敛法则
      • 夹逼定理
        • 设函数f(x)，g(x)和h(x)同时满足以下两个条件： (1)在点x0的某去心邻域No(x0,δ0)内恒有g(x)≤f(x)≤h(x)； (2)lim(x→x0)g(x)=lim(x→x0)h(x)=a, 则函数f(x)在点x0处的极限存在，且lim(x→x0)f(x)=a。
      • 单调有界原理
        • 设函数f(x)在区间[a,+∞)(a∈R)上单增且有上界(单减且有下界),则lim(x→+∞)f(x)存在
      • 函数极限的柯西收敛准则
        • 设函数f(x)在No(x0，δ0)内有定义，则lim(x→x0)f(x)存在的充要条件是 ∀ε>0,∃δ∈(0，δ0)，使得∀x'，x''，只要x'，x''∈(x0,δ),就有|f(x')-f(x'')|<ε
        • 设函数f(x)在|x|>a都有定义，则lim(x→∞)f(x)存在的充要条件是 ∀ε>0,∃X>a，使得∀x'，x''，只要|x'|，|x'|'>X,就有|f(x')-f(x'')|<ε
    • 两个重要极限
      • lim(x→x0)sinx/x=1
      • lim(x→∞)(1+1/x)x=e (1+1/∞)∞=e
  • 无穷小量与无穷大量
    • 无穷小量
      • 定义
      • 性质
      • 无穷小量阶的定义
        • 若limX/Y=0，则称X是Y的高阶无穷小，也称Y是X的低阶无穷小，记为X=o(Y)。
        • 若存在常数L>0，使得在该点的某去心邻域内恒有|X/Y|≤L，则称X/Y是局部有界的，记为X=O(Y)。
        • 若X=O(Y)且Y=O(X)，即存在两个正数K与L,使得在该点的某去心邻域内恒有K≤|X/Y|≤L，则称X与Y是同阶无穷小
        • 若limX/Y=1，则称X和Y是等价无穷小，记为X~Y
          • sinx~x tanx~x 1-cosx~(1/2)x2 n√(1+x)-1~(1/n)x(n∈N+)
        • 若存在正数k，使得limX/Yk+=c≠0,则称X是Y的k阶无穷小
    • 无穷大量
      • 定义
      • 性质
      • 无穷大量阶的定义
  • 函数的连续性
    • 概念
      • 函数在一点处连续的定义
        • lim(x→x0)f(x)=f(x0)
      • 函数单侧连续的定义
    • 性质
      • 四则运算法则
      • 反函数的连续性
        • 函数在区间严格单增且连续，则反函数也严格单增且连续
    • 间断点及其分类
      • 第一类间断点：间断点左右极限都存在
        • 可去间断点
        • 跳跃间断点
      • 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在
        • 无穷间断点
        • 振荡间断点
    • 连续函数的性质
      • 有界性定理：若函数f(x)∈C([a，b])，则f(x)在必须见[a，b]上有界
      • 最值存在定理：设函数f(x)∈C([a，b])，则f(x)在闭区间[a，b]上比取得最小值和最大值，及存在ξ，η∈[a，b]，使得 f(ξ) = max(x∈[a，b])f(x)，f(η)=min(x∈[a,b])f(x)。
      • 零点存在定理：设函数f(x)∈C([a，b])且f(a)f(b)<0，则至少存在一点ξ∈(a，b），使得f(ξ)=0。
      • 介值存在定理：设函数f(x)∈C([a，b])。若m=min(x∈[a,b])f(x)，M=max(x∈[a，b])f(x)，则对任意常数μ∈[m，M]，均至少存在ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=μ
    • 函数的一致连续性
      • 定义：设函数f(x)在区间I上有定义。若∀ε>0，∃δ>0，使得∀x1，x2∈I，只要|x1-x2|<δ，就有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f(x)在区间I上一致连续，否则称f(x)在区间I上不一致连续或非一致连续。
        • 区间一致连续充要条件：设函数f(x)在区间I上有定义，则f(x)在区间I上一致连续的充要条件是对I中任意两个数列{x'n}与{x''n}，只要lim(n→∞)|x'n-x''n|=0，就有lim(n→∞)|f(x'n)-f(x''n)|
      • Cantor定理:若函数f(x)∈([a，b])，则f(x)在闭区间[a，b]上一致连续
        • 有限开区间一致连续充要条件：设a，b都是常数。若函数f(x)∈C((a，b))，则f(x)在(a,b)内一致连续的充要条件是f(a+0)与f(b-0)都存在