高等数学——一元函数微分学及其应用

"掌握微积分核心，轻松破解函数奥秘！本文系统梳理一元函数微分学核心内容：从导数与微分的基础概念、几何意义，到求导法则与高阶导数运算深入探讨函数性态分析，包括单调性、极值判定（驻点充分条件）、凹凸性及渐近线求解详解微分中值定理体系与Taylor展开式，并附L'Hospital法则的完整应用条件涵盖极值最值、不可导点等关键知识点，助你构建完整的微分学分析框架。"

一元函数微分学及其应用

• 导数
  • 导数的概念、几何意义与应用以及可导与连续的关系
    • 定义：设函数y=f(x)在点x0的某邻域N(x0)内有定义。当变量从x0变为x0+△x时，函数的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0)。若x0+△x∈N(x0)，且极限 lim(△x→0)[f(x0+△x)-f(x0)]/△x存在，则称函数f(x)在点x0处可导，并称赐极限值为函数f(x)在点x0处的导数，记为f'(x0),y'(x0),(dy/dx)|x=x0或(df(x0)/dx)|x=x0
      • 左可导（右可导）：f'-(x0)=lim(x→0-)[f(x0+△x)-f(x0)]/△x (f'+(x0)=lim(x→0+)[f(x0+△x)-f(x0)]/△x)
    • 可导
      • 单点可导充要条件：既可左导又可右导，且左导等于右导
      • 开区间可导：开区间内每一点都可导，则开区间可导
      • 闭区间可导：开区间可导，且在左端点右可导，在右端点左可导
      • 单点可导的必要条件：设函数在点x0处可导，则函数必在点x0处连续
  • 函数求导的基本法则和基本初等函数的导数公式
    • 反函数求导法则
      • 反函数的导数等于直接函数在对应点处的导数的倒数 (dy/dx)|x=x0 =1/(dx/dy)|y=y0
        • (arcsin x)'=1/√(1-x2) ，x∈(-1,1) (arccos x)' =-1/√(1-x2)，x∈(-1,1) (arctan x)' = 1/(1+x2)，x∈(-∞,+∞) (arccot x)' = -1/(1+x2)，x∈(-∞,+∞)
    • 复合函数求导法则
      • 设函数u=ψ(x)在点x处可导，函数y=f(u)在对应点u=ψ(x)处可导，则复合函数y=f(ψ(x))在点x处可导
    • 对数求解法
      • 先取对数再求导数的方法
    • 隐函数求导法则
      • 因变量y和自变量x的对应法则是由F(x,y)=0所确定的。如果存在一个定义在某个区间上的函数y=y(x)，使得F(x,y(x))=0，那么就称y=y(x)为由方程F(x,y)=0所确定的隐函数
  • 高阶导数
    • 定义：设函数y=f(x)在区间I上可导，若其导函数f'(x)在点x∈I处还可导，则称f(x)在点x处二阶可导，称f'(x)在点x处的导数(f'(x))'为函数f(x)在点x处的二阶导数，记为f"(x)，类似的，可以定义n阶导数
    • 定理：设函数u和v都在点x处n阶可导，则函数u±v和uv也都在x处n阶可导。同时成立 (1)(u±v)(n)=u(n)±v(n)； (2)(Leibniz公式) (uv)(n)=∑kn=0Cnku(n-k)v(k)
• 微分
  • 微分的概念
    • 定义：设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义。若存在一个与x无关的常数A，使得 f(x)=f(x0)+A(x-x0)+o(x-x0)(x→x0)，其中o(x-x0)是x→x0时(x-x0)的高阶无穷小量，则称y=f(x)在点x0处可微，称A(x-x0)为f(x)在点x0处的微分，记为df(x0)
    • 可微的充要条件:设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，则f(x)在点x0处可微的充要条件是f(x)在点x0处可导，且A=f'(x0)
  • 微分的运算法则
  • 高阶微分
    • 定义：dny=f(n)(x)dxn
    • 高阶微分没有微分的形式不变性
• 微分学基本定理及其应用
  • 微分中值定理
    • Fermat引理：设函数f(x)在点x0处可导，且存在点x0的某邻域N(x0),使得在该邻域N(x0)内恒有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，则必有 f'(x0)=0。
      • 导数的零点定理
    • Rolle定理：设函数f(x)同时满足以下三个条件： (1)f(x)在闭区间[a,b]上连续，即f(x)∈C([a,b]); (2)f(x)在开区间(a,b)上可导，即f(x)∈D((a,b)); (3)f(a)=f(b), 则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
    • Lagrange中值定理：设函数f(x)同时满足以下两个条件： (1)f(x)在闭区间[a,b]上连续，即f(x)∈C([a,b]); (2)f(x)在开区间(a,b)上可导，即f(x)∈D((a,b))， 则至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)
    • Cauchy中值定理：设函数f(x)同时满足以下两个条件： (1)f(x)在闭区间[a,b]上连续，即f(x)∈C([a,b]); (2)f(x)在开区间(a,b)上可导，即f(x)∈D((a,b)); (3)在开区间(a,b)内恒有g'(x)≠0 则至少存在一点ξ∈(a,b),使得 [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)
  • L'Hospital法则
    • 设函数f(x)和g(x)同时满足以下三个条件： (1)存在常数δ>0，使得f(x)和g(x)都在开区间(x0,x0+δ)内有定义，且lim(x→x0+)f(x)=lim(x→x0+)g(x)=0(∞); (2)在开区间(x0,x0+δ)内f(x)与g(x)都可导，且恒有g'(x)≠0； (3)lim(x→x0+)f'(x)/g'(x)=A，其中A为有限数或为无穷大，则必有（当A为无穷大时可以判定为发散，只有当该极限不存在时，才可判定为失效） lim(x→x0+)f(x)/g(x)=lim(x→x0+)f'(x)/g'(x)=A
  • Taylor定理
    • 带Peano型余项的n阶Taylor公式
      • f(x)=Pn(x-x0)+o((x-x0)n)=∑k=n0 [f(k)(x0)/k!](x-x0)k+o((x-x0)n
    • 带Lagrange型余项的n阶Talor公式
      • f(x)=Pn(x-x0)+[f(n+1)(ξ)/(n+1)!](x-x0)n+1=∑k=n0 [f(k)(x0)/k!](x-x0)k+[f(n+1)(ξ)/(n+1)!](x-x0)n+1
    • Maclaurin公式
      • 把x0换成0即可
• 函数性态的研究
  • 函数的单调性
    • 可导函数为单调函数的充要条件
    • 函数严格单调的充分条件
    • 可导函数为严格单调函数的充要条件
  • 函数的极值
    • 极值点与极值的定义
    • 极值存在的充分条件
    • 驻点为极值点的第一充分条件
      • 设函数f(x)在点x0处二阶可导，且f'(x0)=0，则以下结论成立， (1)当f''(x0)<0时，f(x)在点x0处取得极大值； (2)当f''(x0)>0时，f(x)在点x0处取得极小值； (3)当f''(x0)=0时，无法判定点x0是否为f(x)的极值点
    • 驻点为极值点的第二充分条件
      • 设函数f(x)在点x0处n阶可导，且对任意的整数k∈[1,n-1]都有f(k)(x0)=0，但f(n)(x0)≠0，则以下结论成立： (1)当n为偶数时，点x0必为f(x)的极值点。进一步，若f(n)(x0)>0，则点x0为f(x)的极小值点；若f(n)(x0)<0，则点x0为f(x)的极大值点 (2)当n为奇数时，点x0必定不是f(x)的极值点
  • 函数的最大值和最小值
    • 驻点
    • 不可导点
  • 函数的凹凸性及其性质
    • 凹凸性
      • 凸函数(向下凸)
        • f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)
        • f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x-x0)
      • 严格凸函数
        • f(λx1+(1-λ)x2)<λf(x1)+(1-λ)f(x2)
      • 凹函数(向上凸)
        • f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)
        • f(x)≤f(x0)+f'(x0)(x-x0)
      • 严格凹函数
        • f(λx1+(1-λ)x2)>λf(x1)+(1-λ)f(x2)
    • 性质
      • 可导函数为(严格)凸函数的充要条件：设函数f(x)在区间I上可导，则函数f(x)是区间I上的凸(凹)函数的充要条件是其导函数f'(x)在I上(严格)单增(单减)
      • 二阶可导函数为凸函数的充分条件:设函数f(x)在区间I上二阶可导。若在区间I上恒有f''(x)≥0(f"(x)≤0)，则f(x)是区间I上的凸函数(凹函数)。
      • Jensen不等式
        • 若函数f(x)是区间I上的凸函数，则∀xk∈I及∀λk>0(k=1,2,...),只要∑k=1nλk =1，就有f(∑k=1nf(xk))≤∑k=1nλkf(xk).特别的，取λk=1/n(k=1,2,...)，就有f(1/n∑k=1nxk)≤1/n∑k=1nf(xk)
  • 平面曲线的渐近线
    • 铅直渐近线
      • 存在的充要条件：直线x=x0为曲线y=f(x)在点x0处的铅直渐近线的充要条件是下列极限式中至少有一个成立：lim(x→x0+)f(x)=∞，lim(x→x0-)f(x)=∞
    • 斜渐近线
      • 水平渐近线
        • a=0时的渐进线y=b即为水平渐进线
      • 存在充要条件：曲线y=f(x)在其右侧(或左侧，或左右双侧)以直线y=ax+b为渐进线的充要条件是 a=lim(x→∞)f(x)/x b=lim(x→∞)(f(x)-ax)