高等数学——无穷级数

【无穷级数探秘：从收敛性到函数展开】 这段内容系统梳理了级数理论的核心框架：从数项级数的判敛法（正项、交错、绝对收敛）到函数项级数的一致收敛性从幂级数的运算性质、收敛半径到函数展开的唯一定理再到Fourier级数的三角展开、Dirichlet定理与周期延拓技巧涵盖Cauchy准则、Weierstrass判别法等关键工具，揭示如何用无穷级数逼近复杂函数适合数学爱好者深入理解分析学的级数工具链！

无穷级数

• 数项级数
  • 数项级数的概念
    • 数项级数的定义：∑n=1∞an称为常数项无穷级数，简称为数项级数或级数
    • 数项级数敛散性的定义：Sn=∑k=1∞ak为级数的前n项和或部分和，若{Sn}收敛，则级数收敛，并称S=lim(n→∞)Sn=lim(n→∞)∑k=1∞ak
  • 数项级数的性质与Cauchy收敛准则
    • 线性性质与单调性质
    • 结合律：设级数收敛，则在不改变它的各项次序的前提下任意添加括号，新得到的级数仍然收敛，且和不变
    • 级数收敛的必要条件：若数项级数Sn=∑k=1∞ak收敛，则其通项比满足lim(n→∞)an=0
    • 数项级数的Cauchy收敛准则：数项级数收敛的充要条件是 ∀ε>0，均∃N∈N+,使得当n>N时，∀p∈N+,恒有|∑k=n+1n+pak|<ε
  • 正项级数的判敛法
    • 有界判敛法
      • 正项级数∑n=1∞an收敛的充要条件是它的部分和数列有上界
    • 比较判敛法
      • 设级数∑n=1∞an和∑n=1∞bn均为正项级数，若an≤bn，则 (1)当∑n=1∞bn收敛时，∑n=1∞an也收敛 (2)当∑n=1∞an发散时，∑n=1∞bn也发散
    • 比较判敛法的极限形式
      • 设级数∑n=1∞an和∑n=1∞bn均为正项级数，且bn>0，若极限lim(n→∞)an/bn=λ(为有限数或+∞)则以下结论成立 (1)若0<λ<+∞，则级数∑n=1∞an与∑n=1∞bn同收敛 (2)若λ=0且级数∑n=1∞bn收敛，则级数∑n=1∞an也收敛 (3)若λ=+∞且级数∑n=1∞bn发散，则级数∑n=1∞an也发散
    • 比值判敛法
      • 设级数∑n=1∞an为正项级数，且an>0，如果极限lim(n→∞)an+1/an=ρ(ρ为有限数或+∞) (1)若ρ<1，则级数∑n=1∞an收敛 (2)若1<ρ≤+∞，则级数∑n=1∞an发散
    • 根值判别法或Cauchy判别法
      • 设级数∑n=1∞an为正项级数，且an>0，如果极限lim(n→∞)n√an=ρ(ρ为有限数或+∞) (1)若ρ<1，则级数∑n=1∞an收敛 (2)若1<ρ≤+∞，则级数∑n=1∞an发散
    • 积分判别法
      • 正弦级数∑n=1∞an与反常积分∫1+∞f(x)dx同敛散
    • Raabe判别法
      • 设级数∑n=1∞an为正项级数，且an>0，如果极限lim(n→∞)n(an+1/an-1)=ρ(ρ为有限数或+∞) (1)若ρ<1，则级数∑n=1∞an发散 (2)若1<ρ≤+∞，则级数∑n=1∞an收敛
    • p-级数
      • 级数∑n=1∞1/np
        • 当p>1时收敛，当0<p≤1时发散
  • 交错级数的判敛法
    • 交错级数与Leibniz级数的定义
      • 交错级数
        • ∑n=1∞(-1)n-1an=a1+a2+···+(-1)n-1an+···
      • Leibniz级数
        • 交错级数{an}单减且lim(n→∞)an=0
          • Leibniz判别法
            • Leibniz级数必收敛
  • 数项级数的绝对收敛与条件收敛
    • ∑n=1∞|an|收敛，则称为绝对收敛
      • 绝对收敛则条件收敛
        • 绝对收敛的充要条件是级数∑n=1∞an+和∑n=1∞an-都收敛
    • ∑n=1∞an收敛，则称为条件收敛
      • 条件收敛则∑n=1∞an+和∑n=1∞an-都发散
  • 级数的重排
    • 绝对收敛的级数对加法满足交换律
      • 绝对收敛的级数的任意重排也是绝对收敛的，且它们的和相等
    • Riemann定理
      • 设级数∑n=1∞an条件收敛，则对于任意给定的a：必存在级数∑n=1∞an的重排使得∑n=1∞ã=a
• 函数项级数
  • 函数项级数的基本概念
    • 函数项级数的定义：∑n=1∞un(x)称为定义在E上的函数项级数，其中Sn(x)=∑k=1∞uk(x)称为它的前n项和或部分和
    • 若存在点x0∈E，使得级数∑n=1∞un(x)收敛，则称点x0为函数项级数∑n=1∞un(x)的收敛点，称收敛点的全体为函数项级数∑n=1∞un(x)的收敛域
    • 若函数项级数∑n=1∞un(x)在D上的每一个点都收敛于S(x)，则称函数项级数∑n=1∞un(x)在D上逐点收敛于S(x)或点态收敛与S(x)
  • 函数项级数的一致收敛性及其判别方法
    • 定义：设Sn(x)是函数项级数∑n=1∞un(x)的部分和，若存在函数S(x)：D→R，满足 ∀ε>0，∃N(ε)∈N+，使得当n>N(ε)时，∀x∈D，都有|Sn(x)-S(x)|<ε,则称函数项级数∑n=1∞un(x)在D上一致收敛于S(x)
    • 函数项级数的Cauchy一致收敛准则：函数项级数在D上一致收敛的充要条件是∀ε>0，均∃N∈N+,使得当n>N(ε)时，∀p∈N+,以及∀x∈D恒有|Sn+p(x)-Sn(x)|=|∑k=n+1n+puk(x)|<ε
    • Weierstrass判别法(优级数判别法)：设函数项级数∑n=1∞un(x)(x∈D)的每一项un(x)都满足|un(x)|≤Mn,并且正项级数∑n=1∞Mn收敛，则函数项级数∑n=1∞un(x)在D上一致收敛
  • 一致收敛的性质
    • 和函数的连续性
      • 设un(x)∈C([a,b])，且函数项级数∑n=1∞un(x)在[a,b]上一致收敛于S(x)，则和函数S(x)∈C([a,b]) lim(n→x0)∑n=1∞un(x)=∑n=1∞lim(x→x0)un(x)
    • 逐项积分定理
      • 设un(x)∈C([a,b])，且函数项级数∑n=1∞un(x)在[a,b]上一致收敛于S(x)，则和函数S(x)在[a,b]上可积，且∀x∈[a,b]都成立 ∫axS(t)dt=∫ax(∑n=1∞un(t))dt=∑n=1∞∫axun(t)dt
    • 逐项求导定理
      • 设函数项级数∑n=1∞un(x)满足下述条件： (1)un(x)都在[a,b]上有连续的导函数 (2)函数项级数∑n=1∞un(x)在[a,b]上逐点收敛于S(x) (3)函数项级数∑n=1∞un'(x)在[a,b]上一致收敛于σ(x) 则有 (∑n=1∞un(x))'=∑n=1∞un'(x)
• 幂函数
  • 一般形式：∑n=0∞an(x-x0)n=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+···+an(x-x0)n+···。
  • 幂函数的收敛半径与收敛域
    • Abel定理
      • 对于幂函数∑n=1∞anxn (1)若它在点ξ≠0处收敛，则当|x|<|ξ|时该幂级数绝对收敛 (2)若它在点η≠0处发散，则当|x|>|η|时该幂级数发散
    • 收敛半径与收敛区间的定义
      • 存在正数R，使得当|x|<R时绝对收敛，而当|x|>R时发散，正数R称为幂函数的收敛半径，对应的开区间(-R,R)称为收敛区间(|x|=R时，为条件收敛)
    • 幂级数的收敛半径
      • 对于幂级数∑n=1∞anxn，若an≠0，且lim(n→∞)|an+1/an|=ρ或lim(n→∞)n√|an|=ρ 则该级数的收敛半径为 R=1/ρ(ρ=0时，R=∞；当ρ=∞时，R=0)
  • 幂级数的运算及其性质
    • 幂级数的一致收敛性
      • 设幂级数的收敛半径为R，则 (1)∑n=1∞anxn在(-R,R)上内闭一致收敛 (2)若∑n=1∞anxn在点x=R处收敛，则它在任意闭区间[a,R]⊂(-R,R]上一致连续
  • 函数展开成幂函数
    • 函数展开成幂函数的定义
      • 就是Taylor展开
    • 幂级数展开的唯一性
• Fourier级数
  • Fourier级数的概念
    • 函数正交与正交函数系的定义
      • 三角函数系
  • 函数展开成三角级数的定义
    • f(x)=a0/2+∑(n=1)∞(ancos nx+bn sin nx)
      • an=1/π∫-ππf(x)cos nxdx，n=1,2，··· bn=1/π∫-ππf(x)sin nxdx，n=1,2，··· a0=1/π∫-ππf(x)dx，n=0,
        • 余弦级数
        • 正弦级数
  • 函数展开成Fourier级数
    • Dirichlet收敛定理
      • 设f(x)是以2π为周期的函数，且满足 (1)在[-π,π]上连续或只有有限个第一类间断点 (2)在[-π,π]上分段单调 则f(x)的Fourier级数在区间[-π,π]上收敛，其和函数为 S(x)=f(x),x∈(-π,π)且是f的连续点 S(x)=[f(x+0)+f(x-0)]/2，x是第一类间断点 S(x)=[f(-π+0)+f(π-0)]/2，x=±π
    • 周期延拓
      • an=1/π∫-ππf(x)cos nxdx，n=0,1,2，··· bn=1/π∫-ππf(x)sin nxdx，n=1,2，··· a0=1/π∫-ππf(x)dx，n=0
    • 以2l为周期的Fourier级数展开
      • an=1/l∫-llf(x)cos nπx/ldx，n=1,2，··· bn=1/l∫-llf(x)sin nπx/ldx，n=1,2，··· a0=1/l∫-llf(x)dx，n=0
    • 正弦级数与余弦级数展开
      • 偶式延拓： an=2/l∫0lf(x)cos nπx/ldx，n=1,2，··· a0=2/l∫0lf(x)dx，n=0
      • 奇式延拓： bn=2/l∫0πf(x)sin nπx/ldx，n=1,2，···