考研数学高数第一讲函数极限与连续

考研张宇数学二，高数第一讲，梳理了函数极限与连续相关的核心知识点，结构清晰，内容详细重点突出，便于理解和记忆相关内容。

函数极限与连续

• 函数的概念与特性
  • 函数y=f(x)
    • 其中一种题型:用所给关系式，造出方程组，解出所需的量。例题1.2
  • 反函数
    • 严格单调函数必有反函数
    • 3个重要结论
      • p54
    • 1.函数y＝ln(x+√x²+1)为奇函数，叫作反双曲正弦函数。 2.y＝2分之e的x次方—e的负x次方，为奇函数，叫做双曲正弦。 3.y的2分之e的x次方+e的负x次方，为偶函数，叫做双曲余弦
      • x²+1都在√下
    • 前提:符合铅垂画线法
      • 口诀:铅直直线定单、多(单值函数、多值函数) 水平直线定反、直(反函数、直接函数)
        • 水平画线法:在符合铅直画线法的前提下，作水平直线，若任一条水平直线与f(x)至多有一个交点，则f(x)有反函数
  • 复合函数
  • 隐函数
  • 四种特性
    • 有界性
      • 有界还是无界的讨论首先需要指明区间
      • ℓf(x)ℓ≤M
    • 单调性
      • 严格单增就是单调增，没有等于号 单调不增有等于号
    • 奇偶性
      • 奇函数:图像关于原点的对称，恒有-f(x)＝f(-x) 偶函数:图像关于y轴对称，恒有f(x)＝f(-x)
        • 前提:定义域关于原点对称
      • f(x)+f(-x)必是偶函数 f(x)-f(-x)必是奇函数 f〔ψ(x)〕内偶则偶，内奇同外
      • 1
    • 周期性
      • 重要结论
• 函数的图像
  • 基本初等函数与初等函数
    • 指数函数
    • 对数函数
    • 幂函数
    • 反正切与反余切
  • 分段函数
• 函数极限的概念与性质
  • 邻域
  • 函数极限的定义
    • 对于常数A,对于任给的ε＞0，总存在整数δ，使得当0＜ℓx-x0ℓ＜δ时，对应的函数值f(x)满足不等式ℓf(x)-Aℓ＜ε，也叫做函数f(x)当x趋于x0时的极限
  • 超实数及其在极限中的应用
  • 函数极限的性质
    • 唯一性:极限存在必唯一
      • 函数极限存在的充要条件
    • 局部有界性
    • 局部保号性
  • 无穷小的定义
  • 无穷小的性质
  • 无穷小的比阶
  • 常用的等价无穷小
    • 记住
  • 无穷大的定义
• 函数的连续与间断
  • 连续点的定义
  • 间断点的定义与分类
    • 找无定义的点和分段函数的分段点
• 函数的计算
  • 方法
    • 极限四则运算规则
    • 洛必达法则
    • 泰勒公式
    • 无穷小的运算
    • 泰勒公式应用时的展开原则
    • 两个重要极限
    • 夹逼准则
  • 七种未定式的计算
    • 方法