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热力学与统计物理
这是一篇关于热力学与统计物理的思维导图，主要内容包括：前四章 热力学部分，第五章 近独立粒子的最概然分布，第六章 玻耳兹曼统计，第七章 玻色统计和费米统计，第九章 系综理论，核心原理，我认为系综理论之前全部的逻辑为：通过孤立体系推导出了最概然分布，之后我们就认为任何体系都遵照最概然分布分布，这个分布由能级的情况以及温度决定。
编辑于2025-09-03 14:50:17- 热力学
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热力学与统计物理
前四章 热力学部分
热力学基本规律
热力学基本定律
热一：能量守恒定律，第一类永动机不可能造出
热二：开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量使其全部变成有用功而不造成其他影响；<br>克劳修斯表述：不可能自发的从低温热源吸取热量转移至高温热源而不引起其他变化<br><br>第二类永动机不可能造出
卡洛定理：所有工作在两个确定温度之间的热机中，可逆热机效率最高
能斯特定律：等温系统的熵变随绝对零度趋于零
热三：不可能通过有限的步骤降至绝对零度
宏观量们
内能：系统中粒子无规运动总能量(的统计平均值)<br>能均分定理的粒子的能量乘以总粒子数目可以得到内能。
体系体积、熵和粒子数不变的情况下，系统沿内能最小的方向运行
熵：是系统混乱程度的量度<br>统计意义：某个宏观状态的熵等于玻尔兹曼常数乘以相应微观状态数的对数
绝热系统沿熵增方向运行
自由能：（我认为是内能减去没用的能量）
等温等容系统沿自由能降低方向运行
吉布斯自由能：
等温等压系统沿吉布斯函数降低方向运行
巨热力势：多考虑各相之间的转化
热容：一个物理体系吸收热量的能力，这体现在它微观的运动的能量与温度的比值很高，<br>就可以通过这个运动来接受热量，要是不吸收，热量就蹭蹭蹭地往上涨<br>定压热容-定容热容=Nk
克拉伯龙方程：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{~d}T}=\frac{L_{\alpha\beta}}{T\left(V^{a}-V^{\beta}\right)}，其中L为相变潜热"><span></span><span></span></span>
热力学的基本思路：
三个基本热力学函数：物态方程、比热和（适当的）状态参量
一群特性函数：U、H、F、G、J、S
热力学基本方程:dU=TdS-pdV，把S通过能态方程换掉
热动平衡判据
单相平衡：T、p、μ
复相平衡：各相之间T、p、μ相等
朗道连续相变理论
序参量：1、无序相：序参量为零；2、有序相：序参量不为零
对称破缺：对称破缺导致有序，对应各向异性
qita
开系对应玻色统计？<br>闭系对应玻尔兹曼统计？
】
第五章 近独立粒子的最概然分布
1、为什么无限深势阱中的能级和处在长度为L的一维容器<br>中的自由粒子的能级相差一个系数4?(前者小)
因为前者采用的是驻波条件，<br>后者采用的是周期性边界条件
2、什么叫相格，一个相格的体积有多大？
一个状态在相空间中所占的体积。
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="若自由度为3，则相格体积为h^3\\此外在k中间中占得体积为\frac{8\pi^3}{L^3}\\在动量空间中占的体积为\frac{8\pi^3\hbar^3}{L^3}"><span></span><span></span></span>
若是一个被认为具有同样状态的空间角小区域为<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="dxdydzdp_zdp_ydp_z" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，则相格为<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="h^3" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>若是一个被认为具有同样状态的空间角小区域为<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="dp_zdp_ydp_z" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，则相格为<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="3" data-equation="\frac{h^3}{V}"><span></span><span></span></span>
3、分辨与不可分辨问题
经典粒子可分辨
那么确定微观状态归结为确定每一个粒子的量子态，<br>显然跟下述情况不同，这个肯定要多很多
量子粒子不可分辨
那么确定系统的微观状态归结为确定每一个量子态上的<br>粒子数。<br>
但还存在半经典粒子
对于简并性非常低的体系(能级上的粒子数远小于简并度)，我们近似认为粒子可分辨；此时也可采用玻尔兹曼分布；<br>而纯粹从数学上来讲，也可以视为费米-狄拉克分布或玻色-爱因斯坦分布reduce为玻尔兹曼分布；<br>这是这种粒子视为半经典粒子，即能级分立，但粒子可分辨
4、区分各统计系统
玻尔兹曼系统<br>（近独立全同粒子）
可分辨
玻色系统
不可分辨
费米系统
不可分辨
5、例举费米子和玻色子
费米子：电子、μ子、质子、中子、复合粒子
玻色子：光子、声子、π介子、复合粒子
6、分布与微观状态是同一个概念吗？
不同。<br><b><font color="#ff0000">分布只关心到“能级”的层次，即每个能级有个少粒子占据，<br>但能级是简并的，所以同一个分布下还存在大量的微观状态。</font></b>
但还需要意识到的是，即便是“没那么细分”的分布，<br>一个宏观状态也对应非常多的分布，这是一个能量组合的问题。<br>众多分布所包含的微观状态数是不同的，所以存在一个<b><font color="#ff0000">具有最多状态数的“最概然分布”</font></b>
数值分析指出，最概然分布几乎占据所有的微观状态数
7、什么是经典极限条件？
在玻色和费米系统中，当任意能级上的粒子数都远小于该能级的<br>简并度时，这两个系统的微观状态数近似相等，都近似等于玻尔<br>兹曼分布的状态数处于N！<br>也称为非简并条件
玻尔兹曼分布
定义为玻尔兹曼系统的最概然分布，也称为“麦克斯韦-玻尔兹曼分布”
推导是通过在约束条件下求解最值，也即拉格朗日乘子法
结果为:<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="a_l=\omega_l e^{-\alpha-\beta\mathcal E_l}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，其中两个参数有两个约束条件所确定<br><br>理解：这个式子指出了一种分布，即能级<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="\mathcal E_l"><span></span><span></span></span>上根据该能级的简并度<br>应该要有多少个粒子才能是的这种分布具有最多的状态数，从而结<br>合等概率原理称为最概然分布
玻色分布
同样定义为近独立的玻色系统的最概然分布,也称为“玻色-爱因斯坦分布”
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="a_l=\frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\mathcal E_l}-1}"><span></span><span></span></span>
费米分布
同样定义为近独立的费米系统的最概然分布,也称为“费米-狄拉克分布”
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="a_l=\frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\mathcal E_l}+1}"><span></span><span></span></span>
7.5、上述推导存在缺陷吗？
存在，他们都是在假定所有的<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="a_l>>1"><span></span><span></span></span>的情况下，采用了斯特林公式，
第六章 玻耳兹曼统计
使用范围：纯经典的定域系统（可分辨）和满足经典极限的玻色、费米系统
热力学量的统计表达式
内涵，只要有了分布，我就能将这个系统的力学量都表达出来
8、配分函数？
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="Z_1=\sum_l{\omega_le^{-\beta \mathcal E_l}}"><span></span><span></span></span>
可以将配分函数视为“弱化版”的分布，<br>统计物理的逻辑是通过微观的分布求出宏观的一切，但数学推导表面，大部分宏观量并不一定要将分布完整的<br>求出来，只需要求出一个由分布决定的中间量即可，这个中间量就是配分函数。<br><br>而且，实际上我们求不出分布，因为里面的参数α未知
对内能<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="U=\sum{\mathcal{E}_l a_l}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>求微分得到<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="dU=\sum{a_l d\mathcal{E}_l}+\sum{\mathcal{E}_l da_l}"><span></span><span></span></span><br>结合广义力做功的定义，这说明内能的变化体现在①外参量做功，不改变分布，只改变能级；<br>②从外界吸收热量，使得粒子在各能级重新分布
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="可推导\beta和\frac{1}{T}都是dQ的积分因子，所以可令\beta=\frac{1}{KT}"><span></span><span></span></span>
9、什么是玻尔兹曼关系式？什么是熵的统计意义
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="S=k\ln{\Omega}"><span></span><span></span></span>，适用于可分辨系统
应用
进一步应用的逻辑：
我们的主线就是求分布，前文分析表明，第一、若是一个近独立孤立系统（E、N确<br>定），它的分布极大可能形式已经定下来了，只与简并度、能级的具体状况有关（还有<br>温度？）；第二、我们不需要将分布完全求出来，可以通过配分函数这个中间量去求宏<br>观量之间的关系，如理想气体状态方程
推导理想气体方程
把V看出外参量，把p视为这个外参量对应的广义力
推导麦克斯韦速度分布律
最概然2<平均8/π<均方根3
10、什么是能均分定理？它什么时候适用？什么时候<br>失效？
它说的是单个粒子的平均能量，对于处在温度为T的平衡状态的经典系统（可分辨），<br>粒子能量中每一个独立的平方项的平均值等于二分之KT<br><br>单原子气体3/2，双原子气体5/2（忽略相对运动），固体原子3，光子每个频率提供1
既可以用纯经典推、也可以用半量子推
一个振动自由度提供KT能量？<br>错！是一个谐振子提供KT能量，因为谐振子有两个平方项
但那一个自由度被冻结的时候（能级间距太高，无法从基态跃迁至激发态），就不提供能量<br>如常温下，气体分子的振动对热容没有贡献；<br>气体中的电子对气体的热容没有贡献；<br>低温下氢气的热容和实验不符（转动能级被冻结）
理想气体的熵
按原来的表达方式，熵不是广延量，应当将玻耳兹曼关系修正：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="S=k\ln{\frac{\Omega}{N!}}"><span></span><span></span></span>
固体热容的爱因斯坦模型
假定有N个原子的固体可视为3N个能级相同的一维谐振子，每个谐振子能级简并度为1.<br>解释了热容在0K左右为0，在高温下热容为常数，与能均分定理一致。
即爱因斯坦的粗暴全同声学声子近似
顺磁性固体模型
在电磁学中有解释
第七章 玻色统计和费米统计
11、什么是非简并气体
指的是满足非简并条件的气体，无论是玻色子还是费米子构成，都可以<br>用玻尔兹曼分布描述
12、什么是内能的量子统计关联项？
是指满足非简并条件的弱简并玻色或费米气体的内能相较<br>非简并气体有一个附加项，玻色附加为负，等价一个“吸附<br>作用”，费米附加为正，等价一个“排斥作用”。这是量子<br>的全同性原理导致的。
玻色统计的应用
玻色·爱因斯坦凝聚
13、什么是波-爱凝聚
是指玻色气体简并度比较高时（<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="n\lambda^3>2.612"><span></span><span></span></span>)，<br>当温度下降到一个临界温度以下时，所有粒子开始据聚集在基态的现象，此时<br>气体的能量、动量、熵都为零
临界温度为化学势恰好升到0时的温度，<br>或者说，我们认为基态能级刚开始出现粒子时的温度
发生玻爱凝聚后，定容热容和温度成5/2次方关系
一些推导要点
温度降低，化学势从负数往0靠近而升高，这样做是为了让基态粒子<br>数占独份
化学势由粒子数守恒来决定，将得到它和温度的关系
光子气体
这是在用粒子的观点讨论不具有确定粒子数的系统，因为平衡辐射时<br>光子数不守恒
14、光子气体的化学势是多少？
0；<br>因为光子气体粒子数不守恒，只应该引入一个拉格朗日乘子，所以α等于零，<br>所以μ等于0
简并度等于频率态密度
到此才算完全搞清楚平衡辐射场的性质，之前热力学给出了斯特潘玻尔兹曼定律，<br>在玻尔兹曼分布里，瑞利金斯将它们当成谐振子，每个模式采用玻耳兹曼统计的能均分定理给出的能量导出紫外灾难；<br>维恩将辐射场当成经典电磁波？？？<br>最后通过玻色分布在加上能量量子的假定才给出普朗克公式
费米统计地应用
金属中的自由电子气体
跟固体物理中的索末菲模型一致
这是强简并气体
同样是通过粒子数守恒反推化学势与温度的关系
15、费米能级的物理含义
费米能级是费米系统中T=0时的化学势，<br>T=0时，当能量低于费米能级，所有的能级将填满，反之全空。<br><br>通过费米能级可以定义费米动量、费米速
16、什么是电子气体的简并压？
0K是电子的平均能量为3/5μ(0)，这个能量对应的压强是<br>电子简并压，可达10^10Pa，这一简并压将于电子与离子<br>的静电力相补偿
17、电子的热容对固体的贡献？
电子热容与温度成正比，但是系数极小，只有在极低温时，离子振动热容按三次方<br>衰减时，电子的热容才成为主要贡献。
第九章 系综理论
在这里 α和β都是由外界条件确定的已知参量，<br>由它们来确定体系的平均总粒子数和内能<br><br>分布也变成平均分布而不是最概然分布，不过<br>分布的表达式完全相同
系综的根本
首当其冲地，系统的总数是我们假定的一个充分大的数，且不随时间改变。<br>整个逻辑为，按照经典力学理论，孤立多体系统能量守恒，将按照正则方程演化，它在相空间的轨迹<br>构成一个超平面。任意一个初始状态将在相空间中沿闭合路径演化，或者到无穷远处，任意两条路径<br>不会相交。——<b><font color="#ff0000">因为决定论+无记忆性</font></b><br>现在我们假定有大量结构相同的系统，它们各自有着自己的初始状态，各自独立地按照正则方程演化<br>，那么在任意时刻，当把这些系统放到同一个相空间来考虑时，它们的运动代表点将在相空间中形成<br>一个分布，这个分布将对应近独立系统的统计方法中的“各分布按微观状态数的概率”。<br><br><br>
18、什么是刘维尔定理？
讲述的是代表点密度将“均匀”地随时间演化。<br>如果一个代表点沿正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻域的代表点密度<br>是不随时间改变的常量。
19、系综理论中，相空间中代表点密度的含义是什么？
将它乘以一个相空间的体积元，我认为就是系统的微观状态数，正比于系统处在那个<br>介观状态的的概率
20、系综理论中，宏观量是如何得到的？
<b><font color="#ff0000">我们认为，统计物理学研究的是物质系统在一定的宏观条件下多次测量的平均结果，<br>而其中的每一次测量都需要一定的时间间隔完成，结果是相应微观量在这段宏观短<br>微观长的时间间隔内的平均值；而多次测量的平均结果，则（更）是在给定的宏观<br>条件下，相应微观量在一切可能的微观状态上的平均值。</font></b>
微正则系综
研究对象：孤立系统，具有确定的N、V以及在E附近微小偏动的能量
系综分布函数即代表点密度
平衡状态的<b><font color="#ff0000">系综分布函数</font></b>
系统整体能量不变，内部之间可以交换能量
正则系综
研究对象：有确定的N、V、T，允许和热源交换能量，但和热源组成一个<br>孤立系统，整个系统具有确定的能量
处理方法：研究系统的处于一个具有能量<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="E_s" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>状态的概率正比于热源处于<br>能量<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="E^{(0)}-E_s"><span></span><span></span></span>的微观状态数：<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="\Omega(E^{(0)}-E_s)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
配分函数与玻尔兹曼配分函数相近，只不过能级变为系统的能级而非<br>粒子的能级
应用
：实际气体的物态方程
固体的热容
高温热容为3Nk
低温下热容T三次方率（德拜<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="T^3"><span></span><span></span></span>律）
巨正则系综
N不再确定，系统与源可以交换粒子、能量，系统只有确定的V、T、化学势μ
核心原理
(区别于经典统计的量子统计)全同性原理：全同粒子是不可分辨的，交换两个粒子<br>不改变整个系统的<b>微观运动状态</b>（更不改变宏观）
等概率原理：处于平衡态的<b><font color="#ff0000">孤立系统</font></b>，它的每一个对应宏观态(N、E、V)的微观状态出现的<br>概率都等可能。
物理量测量原理：统计物理学研究的是物质系统在一定的宏观条件下多次测量的平均结果<br>，而其中的每一次测量都需要一定的时间间隔完成，结果是相应微观量在这段宏观短微观<br>长的时间间隔内的平均值；而多次测量的平均结果，则（更）是在给定的宏观条件下，相<br>应微观量在一切可能的微观状态上的平均值。<br><br>简单来说，时间平均是物理测量量的本原
各态历经假说：认为保守系统从任一初态出发，只要时间够长，将经历能量<br>曲面上的一切微观状态；.保证了系综平均与时间平均是等价的
我认为系综理论之前全部的逻辑为：<br>通过孤立体系推导出了最概然分布，之后我们就认为任何体系<br>都遵照最概然分布分布，这个分布由能级的情况以及温度决定，<br>（但其实没有完全确定，α不确定，但也已经够了，所以我们才<br>定义配分函数的）但之后我们就可以通过分布去求所有的物理<br>量了。
历来的疑难问题(六)
关于接地
接地意味着电势为零，那么接地的表面就不可能带净电荷，否则总会有电场线<br>从无穷远（零电势点）指来或指向它<br><br><span style="font-weight:normal;"><font color="#ff0000">我认为不对！接地仅仅只是电势为零，净电荷是否为零要看是否还有别的电荷<br>在此处产生电势，若有，则为了抵消这个电势，势必还是会产生电荷。</font></span>
这里自然而然引出一个实验：不带电的空腔导体内放入电荷，<br>将外表面接地，之后先去除接地，再取出内部电荷，此时空腔<br>导体将带上与最初放入的电荷同等异号的电荷
关于核心定理的适用范围
我初步认为库伦定律和安培定律并非仅仅在真空中适用，<br>它们在任何情况下都可以算出电磁场的“原电场和原磁<br>感应强度”，之后再和极化强度以及磁化强度一起列方<br>程，可求出实际的电场和磁感应强度，这等价于将<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\epsilon" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>和<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="\mu"><span></span><span></span></span>换一个常数
关于电荷产生电场的瞬时性问题以及<br>A点的电荷在B点产生的电场时候会受A到B之间的电磁状况的影响（比如经过了导体和绝缘体）
电场的形成一定是一个系统中所有组成部分共同作用的结果，不带电的导体当然会<br>改变电场
电偶极子在电场中的能量以及力矩，这里的电场包不包括它本身产生的电场呢？<br>——不包括，电动力学中做了充分的说明，但要充分的认识到，这里的能量和力矩都是<br>电偶极子视为“内部电荷”与“外部电场”之间的相互作用，能量部分是不包括自能的。<br>而且点电荷是无法定义自能的。<br>但是，这里的电场严格来说并不是电偶极子不存在时的电场，而是在电偶极子的影响下<br>（但这个影响常常是被忽略的）外场的电荷重新分布后的电场
电磁场的分类
静电场
稳恒电场
恒定磁场/静磁场
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\nabla \cdot \vec A =0只有在稳恒磁场中满足"><span></span><span></span></span>
电流一定得是回路吗
我认为是。<br>书上是这么暗示的：“在实验中无法实现一个孤立的恒定电流源，只能间接地从闭合载流回路中<br>倒推出来”
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="为什么\nabla \frac{1}{R}=-\frac{\vec{R}}{R^3}"><span></span><span></span></span>
综合题目，电磁场的本源是电场+磁感应强度还是电位移矢量+磁场强度？
我认为保持不变的是电位移矢量+磁场强度；<br>但产生物理效应的是电场强度和磁感应强度，因为洛伦兹力
一个电荷放入空间中，周围的电场是瞬间产生的吗？它会不会引发辐射？<br>辐射的根源是什么？
什么是约束力
约束力可以顾名思义, 就是约束产生的力. 什么是约束呢？就是限制运动吗！运动自然有方向, 限制它自然要反向作用.<br>内力
17、电磁场的哈密顿函数是什么样子的？
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="势能：U=q\varphi -q\vec A \cdot \vec v\\拉格朗日函数：L=\frac{1}{2}mv^2-q\varphi +q\vec A\cdot \vec v\\正则动量\vec \mathcal P=m\vec v+q\vec A\\哈密顿量H=\frac{1}{2m}(\vec \mathcal P-q\vec A)^2+e\varphi"><span></span><span></span></span>
微分散射截面与总截面
微分散射截面就是θ、φ方向的截面，它没有“微分”的含义<br>而总截面是对4π立体角积分的截面，是粒子被靶核散射的总的截面
驻波与周期性边界条件的问题
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="到底是\frac{2n\pi}{L}还是\frac{n\pi}{L}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\frac{2n\pi}{L}的场景："><span></span><span></span></span>
德布罗意波、倒格点、环形的驻波条件
要小心，布里渊区边界为<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\frac{\pi}{a}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\frac{n\pi}{L}的场景"><span></span><span></span></span>
谐振腔，一般的驻波条件
我的理解是，驻波条件是边界满足等于π；<br>周期性边界条件是，认为走到边界等于走了一周，要满足等于2π
宏观状态的确定问题？
一个宏观状态的N、E、V定下来，它的全部宏观性质就定下来了吗？<br>那如果两个微观状态对应相同的N、E、V，但对应的压强or热容不同，那么这两个微观状态还都可能出现吗？<br>
相空间中的轨迹为什么不能相交？