带余除法 对于P[x] 中任意两个多项式f(x) 与g(x), 其中g(x)≠0, 一定有P[x] 中的多项式q(x),r(x)存在，使
f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1)
成立，其中deg(r(x))<deg(g(x)) 或者r(x)=0, 并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的.
带余除法中所得的q(x) 通常称为g(x) 除f(x)的商式，r(x) 称为g(x) 除f(x)的余式，简称商及余.
定义5 称数域P上的多项式g(x)整除f(x),如果有数域P上的多项式使等式
f(x)=g(x)h(x)
成立.我们用“g(x)|f(x)” 表示g(x)整除f(x),用“g(x)∤f(x)” 表示g(x) 不能整除 f(x).
当g(x)|f(x)时，g(x)就称为f(x)的因式，f(x)称为g(x)的倍式.
定理1 对于数域 P 上的任意两个多项式f(x),g(x),其中g(x)≠0,g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x) 除f(x)的余式为零
带余除法中g(x) 必须不为零，但g(x)|f(x)中g(x)可以为零.这时f(x)=g(x)h(x)=0·h(x)=0.
由定义还可看出，任一个多项式f(x) 一定整除它自身，即f(x)|f(x), 因f(x)=1·f(x);
任一个多项式f(x)都整除零多项式0,因为0=0 ·f(x);
零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式，因为当a≠0时，f(x)=a(a⁻¹f(x)).
特别地0|0
如果g(x)|f(x)，并且f（x）|g（x）那么称f（x）和g（x）相伴，记作f（x）～g（x）
2.如果f(x)|g(x),g(x)|h(x), 那么f(x)|h(x)(整除的传递性).显然，由g(x)=g1(x)f(x),h(x)=h1(x)g(x)
即得
h(x)=(h₁(x)g₁(x))f(x).
3. 如 果f(x)|gi(x),i=1,2, … ,r, 那么
f(x)|(u₁(x)g₁(x)+u₂(x)g₂(x)+…+ur(x)gr(x)), 其中u(x)是数域P上任意的多项式
多项式f(x)与它的任一个非零常数倍cf(x)(c≠0) 有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，f(x)常常可以用cf(x)来代替 .
在K[x]中 ，f(x)～g(x) 当且仅当存在c∈K*, 使得f(x)=cg(x)
命题3 设f(x),g(x)∈K[x],数域F≥K,则在K[x]中，g(x)|f(x) 和 在F(x)中，g(x)|f(x)是充分必要条件，这表明，整除性不随数域的扩大而改变
