函数与导数

这是一篇关于函数与导数的思维导图，结构清晰，层次分明，涵盖函数的基本性质、极限理论、导数相关概念及运算等内容。

函数与导数

• 映射
  • 单满一一映射
  • 反映射
  • 复合映射
• 函数
  • 有界性
    • 有界证明语言M
      • 函数有极限
        • 开区间
        • 某一去心领域内
          • 极限存在的充要条件
      • 函数极限不存在的情况
        • 单侧极限不相等/单侧极限=∞
      • 某一趋势下函数极限为0
        • 0是唯一代表无穷小的常数
        • 无穷小
    • 无界符号语言
      • 无穷大
        • 存在极限=∞
  • 连续性
    • 函数连续的两个条件
      • 函数在某领域内极限 有定义 左连续=右连续
    • 闭区间上的连续
      • 零点定理
        • 介值定理
      • 有界与最值定理
    • 两种定义形式
      • fx
      • 增量
    • 间隔点的判断
      • 第一类间隔点
        • 可去间隔点 左右极限相等
          • 可以通过补充定义使其连续
        • 跳跃间隔点 左右极限不相等（极限不存在）
      • 第二类间隔点
    • 反函数，初等函数，连续函数的乘除加减
  • 单调性·
  • 奇偶性
  • 特殊函数+初等函数+反函数
    • 复合函数满足的条件
      • 只要外层函数有界，则该复合函数有界
      • 记得分层级
    • 取整函数，sgn函数
    • arctanx，secx，cscx 具备反函数的条件
  • 可导性
    • 定义式（本质是极限）
      • 满足左导数=右导数 （即左右极限相等）
      • 若极限为无穷大，但有几何意义 （垂直于x轴） 该点不可导，就说明冒尖
• 导数
  • 反应变化快慢
  • 高阶求导
    • 对于一些初等函数的n阶求导 莱布尼兹公式
  • 隐函数求导
    • 对数求导法
    • 恒等式求导法
  • 参数函数求导
    • 相关变化率（解决实际问题）
    • 二阶求导
  • 函数的求导法则
    • 和差积商，初等函数
      • 对数函数！！
    • 反函数
    • 复合函数
      • 难点：有时会和抽像函数套用
• 函数的可微性 化繁为简，化曲为直
  • 初等函数的微分法则
  • 复合函数（包括抽象函数）的微分法则
  • 几何意义
• 复合函数的连续性
  • 可直接代入求极限，内部有极限，外部相应的连续；
  • 内部外部在相应部分连续，则该复合函数在此连续
  • 从内而外求极限
• 极限存在准则
  • 放缩求极限（夹逼准则）
  • 单调有界（收敛）必有极限
• 两个重要极限
  • 特点形式 幂指函数，分式函数
    • 幂指函数复合形式求极限 （恒等式）
• 极限运算法则
  • 有限个无穷小/某一有界函数与无穷小相乘仍为为无穷小
  • 对于有理多项式函数，一般直接代入计算
• 无穷小的比较
  • 等价无穷小
    • 常见等价
    • 代换的准则