导图社区 线性代数向量
这是一篇关于线性代数向量的思维导图，主要包括向量、向量组的概念，线性表出、线性相关，向量组、矩阵的秩等的知识点。
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第14章DNA的生物合成读书笔记
向量
重要性：矩阵和线性方程组求解的基础概念，其众多定理也是解很多线性方程的重要隐含条件
重点
线性表出、线性相关的定义和定理
极大线性无关组和秩
知识点
向量、向量组的概念
定义 α是n维向量，ai是α的分量（坐标）
向量的基本运算
加减法
数乘【0α=0】
内积
线性表出、线性相关
定义 线性组合
定义 线性相关（Ax=0）【k不全为零时成立】
特别的
单个向量
零向量
向量组
相等向量
成比例向量
让方程组有无穷多解
判别法
非常重要的结论，结合两个推论作为解方程组的重要隐含条件
⇔Ax=0有非零解
⇔ r（A）＜n
向量组线性相关的充要条件是至少有一个向量可以由其余向量线性表出【但不能确定具体是哪一个向量，所以不能滥用】
推论
推论1 n个n维向量线性相关的充要条件是行列式|a1，a2...an|=0【克拉默法则|A|=0】
推论2 任何n+1个n维向量必线性相关
定义 线性无关
当且仅当k全为0时等式才成立
任意不全为零的常数k都不能使等式成立
⇔Ax=0只有零解
⇔ r（A）=n
定义 线性表出（Ax=b）
定理4
定理6 若向量组α1，α2，...αs线性无关，而向量组α1，α2，...αs，β线性相关，则β可由原向量组线性表出，且表法唯一
定理7 设有两个向量组（1）α1，α2，...αs（2）β1，β2，...βt
若βi均可由（1）线性表出，且t＞s，则（2）线性相关 多数由少数表出，多数必相关
若βi均可由（1）线性表出，且（2）线性无关，则t≤s
逆否命题
向量组、矩阵的秩
向量组的秩
定义1 极大线性无关组:若
需要注意
极大线性组一般不唯一
只有一个零向量组成的向量组没有极大线性无关组
一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组本身
向量组的秩 极大线性无关组的向量个数是相同的，这里的向量个数成为向量组的秩
定义2 设有两个向量组（1）α1，α2，...αs（2）β1，β2，...βs,若两个向量组可以互相线性表出，则称向量组（1）（2）是等价向量组
向量组和他的极大线性无关组是等价向量组
一个向量组中各极大线性无关组之间是等价向量组，且向量个数相同
定理 如果向量组（1）可由向量组（2）线性表出，则r（1）≤r（2）
推论 如果向量组（1）和（2）等价，则r（1）=r（2）
矩阵的秩
定义1 在m×n矩阵A中，任取k行与k列，位于这些行列交叉点上的k²个元素按其在原来矩阵A中的次序可构成一个k阶行列式，称其为矩阵A的一个k阶子式
定义2（矩阵的秩） 设A是m×n矩阵，若A中存在r阶子式不等于零，r阶以上子式均等于零，则称矩阵A的秩为r（A）
零矩阵的秩规定为0
r（A）=0的充要条件是A是零矩阵
若A不是零矩阵的充要条件是r（A）≥1
秩r（A）=r的充要条件是A中非零子式的最高阶数是r
r（A）＜r的充要条件是A中每一个r阶子式全为0
r（A）≥r的充要条件是A中有r阶子式不为0
若A是n阶矩阵
r（A）=n
|A|≠0
A可逆
r（A）＜n
|A|=0
A不可逆
做题重要隐含条件
若A是m×n矩阵，则r（A）≤min（m，n）
定理1 经过初等变换矩阵的秩不变
矩阵秩的公式
【练3.3，P176ex】
全部都要熟悉，在专考求秩的题目里面，化简抽象矩阵很重要
定理2（三秩相等） 矩阵按行或列分块后秩不变【分行或列后极大线性无关组的数量不变，仍等于矩阵的秩】
