向量空间

这是一篇关于向量空间的思维导图，详细阐述了向量空间相关的多个重要概念及其性质，整体逻辑清晰，层次分明。

向量空间

• n元列矩阵称为F上的n元向量，简称为向量，元素都为实数的向量称为实向量，向量的元素也称为分量
• 向量的线性运算
  • 和
  • 数乘
• 向量空间：V对向量的线性运算封闭
  • 解空间：F上线性方程组AX=β的解称为解向量，解向量构成的空间为解空间，F上的mxn齐次线性方程组AX=0的解向量构成的集合记为N（A），即N（A）={ξ∈Fn丨Aξ=0}，N（A）称为A的零空间，也称为齐次线性方程组AX=0的解空间。
  • 将A的n个列记作α1，α2，……αn∈F，称为由A的列构成的向量组，它的生成子空间Span{α1，α2，……αn}称为A的列空间，也称为A的值域，记作R（A）
  • 行空间：由A的行构成的向量组的生成子空间称为行空间。
• 向量组：F上的向量空间V中的一组向量，称为V中的一个向量组
  • 向量组中的向量都属于同一个向量空间
  • 向量组中的向量是有顺序的
• 线性组合：k₁a₁+k₂a₂+k₃a₃+……+ktat
• Span{α₁，α₂，α₃，……，αt}称为向量的生成的V的子空间，简称为生成子空间，也可以用{α₁，α₂，α₃，……，αt}表示
• 线性无关与线性相关：齐次线性方程组只有零解，则线性无关，否则线性相关
  • 一个向量组不是线性无关就是线性相关的
  • 含有零向量的一定是线性相关的
  • 如果一组向量是线性无关的，那么从其中取出部分向量依旧是线性无关的
  • 如果一组向量是线性相关的，那么再添加向量也是线性相关的
  • 满秩是线性无关的，极大无关组：极大线性无关组
• 如果向量β可以由向量组α1，α2，……αt线性表示，也称β是α1，α2，……，αt的线性组合
  • 设t≥2是正整数，Fn中的向量组α1，α2，……，αt线性相关的充分必要条件是α1，α2，……，αt中至少存在一个向量可由其余向量线性表示
  • 因为线性无关的向量组α1，α2，……，αs可以由向量组β1，β2，……，βt线性表示，所以存在txs矩阵C，使得（α1，α2，……，αt）=（β1，β2，……，βt）C，并且r（C）=s，s=r（C）≤min{s，t}≤t
• 两个向量组可以互相线性表示，那么称他们为等价的，记作{α1，α2，……，αs}≌{β1，β2，……，βt}，具有对称性、传递性，Span{α1，α2，……，αs}⊆Span{β1，β2，……，βt}
• 秩：向量组α1，α2，……，αt的极大无关组中向量的个数称为向量组α1，α2，……，αt的秩，记作r{α1，α2，……，αt}
  • 向量组中存在r个线性无关的向量
  • 向量组中任意r+1个向量（如果存在）都是线性相关的
  • 向量组α1，α2，……，αt
  • 如果向量组α1，α2，···，αs可以由向量组β1，β2，···，βt线性表示，那么r{α1，α2，···，αs}≤r{β1，β2，···，βt}