实变函数

这是一篇关于实变的思维导图，主要内容包括：集合，点集，测度论，可测函数，积分论，是一份系统学习实变函数知识的有效资料。

实变

• 集合
  • 集合的表示与运算
    • 上下极限
      • 有子列含
      • 关系
    • 单调集列
    • 直积
  • 对等与基数
    • 双射
    • 伯恩斯坦
  • 可数集
    • a
    • 正整数对等（Q）
    • 代数数的全体构成可数集
    • 并是可数个-至多可数集
    • 直积是有限个-至多可数集
  • 不可数集
    • 不是可数集的无限集合叫不可数集，基数≥c
    • 全体实数构成的一个集合（所有区间，欧几里得空间）
    • c（连续基数）
    • 直积是可数个-两个元素以上的集合
    • 并是可数个-不可数集
• 点集
  • 度量空间
    • （X,d)，X是集合，d距离，（有非负，对称，三角不等式）即是度量空间
    • 平加乘大
  • 聚点，内点，界点
    • 开核-内点
    • 导集-聚点
      • 聚点的三条等价条件
    • 边界-界点
    • 闭包（除外点）
    • 性质
      • 闭包与开核的对偶关系（补的闭包=开核的补）
      • • 熟记定义，再来证
      • • 利用上一条性质和逆否命题证
      • 有界无限必有聚点
      • 非空非欧式空间，必有界点
  • 开集，闭集，完备集，紧集，自密集
    • 开集：每一点都是内点
      • 邻域，开核，空集，欧式空间，开区间都是开集
    • 闭集：聚点都属于E 导集属于E
      • 非空有限点列（无聚点），闭包，导集，闭区间，空集，欧式空集，无聚点的集合是闭集
    • 熟记定义
      • 开核一定包含于E是最大开集，闭包一定包含于E是最小闭集，
    • 任开并开（有开交开）有闭并闭
    • 两闭集不相交，距离可能为0，但当其中一个有界时，距离就为0
    • 有界闭集-紧集
      • 有限覆盖定理：有界闭集被一族开集所覆盖，则一定存在有限个开集去覆盖它
    • 自密集-没有孤立点/每点都是聚点 E属于导集
    • 完备集/完全集-自密闭集/没有孤立点的闭集 E等于导集
      • 开集中E等于内核
      • 没有相邻接的余区间的闭集
  • 直线上开集，闭集，完备集的构造
    • 构成区间定义（直线上，开区间属于开集，端点不属于开集）
    • 直线上任一非空开集均可表示为至多有限个不相交的构成区间的并
      • 欧氏空间中任一非空开集=至多 互不 左开右闭/右开左闭的并
    • A是闭集，则A的余集的构成区间就是A的余区间/邻接区间
    • 直线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去至多有限个互不相交的开区间所得集
  • 康托尔三分集（疏朗集）
    • 完备集（无孤立点闭集） 里面的点全是聚点，无内点（疏朗集） 基数为c 测度为0
    • 疏朗集-闭包无内点
• 测度论
  • 长度公理（实数直线上的一些点集）
    • 非负性 有限可加性 正则性m（[0,1])=1
  • 勒贝格测度公理（实数直线上的一部分集合族）
    • 非负性 可列可加性 正则性
  • 外测度
    • 用覆盖E的哪些开区间的“长度”的下确界作为E的外测度
    • 非负性 单调性
      • 次可数可加性
    • 书上两个例题：1.m*([0,1]∩Q）=0 2.对于任意区间I,m*I=/I/
      • 欧氏空间中，任何可数子集均有外测度为0，而不可数集如P它的外测度也为0
  • 可测集
    • 卡式条件（T是点集） E是L可测的
    • 性质
      • 充要 补可测
      • 至多可数交，至多可数并可测
        • 当不相交时，有可列可加性
      • A,B可测，则A-B可测
        • 当A,B可测且B∈A，mB＜∞时，有m(A-B)=mA-mB
      • {Si}递增，S=∪Si=limSn 则极限测度=测度极限
      • {Si}递减，就是∩，首项测度有限，则~
      • 类似莱维
  • 可测集类
    • 零集（零测度集）外测度为0，是可测的；它的任何子集仍是零集；至多可数的并仍是零集
    • 区间I都是可测集，且mI=/I//
    • 凡开集，闭集均可测
    • • 对可数交，并，补都封闭
      • Rn中可测集全体所成的集合类Ln是（下记为L）
    • • 博雷尔代数是包含开集的最小6代数
      • 博雷尔集是全体开集作可数交，并，补生成的集合如全体开集，闭集，空集，Rn
        • 互为补集
          • 例题（分清内点和聚点的概念，前提在R中）
        • 可测集与他们的关系
          • （外开内闭）
        • K是有界闭集
          • 若E是有界可测集，则相等
      • 凡博雷尔集都是勒贝格可测集
    • 可测集：零集，区间，开/闭集，博雷尔集
• 可测函数
  • 可测函数及其性质
    • 有限实数（不含∞）--有限函数
      • 有界函数一定是有限的，但有限不一定有界
    • • 还有三个等价条件
      • 则有E[a≤f＜b]是可测的，推回去（充分性，需要f有限函数）
    • 可测函数
      • 零集上的任何函数
      • 可测集上的简单函数（如D（x)可测的非连续函数)
      • 可测集上的连续函数，单调函数
        • Ia其实是端点含不含于集合
      • 性质
        • 子集，有限并封闭（可测）
        • 若f,g为E上的可测函数，则E[f≥g]与E[f＞g]都是可测集
        • 对四则运算，确界运算，极限运算封闭（后两个针对可测函数列）
        • 正部，负部也可测
        • 可测函数与简单函数的关系
        • 几乎处处成立
          • （零测度集）
  • 叶戈罗夫定理
    • 基本上一致收敛
      • 条件等价于：1.{fn}，f是E上a.e.有限的可测函数，2.fn几乎处处收敛于f
      • 推论：mE＜∞，{fn}可测，f可测，且几乎处处收敛，{fn} 是一致有界的（即存在常数 M > 0，使得对所有 n，|fn(x)| ≤M在 E 上几乎处处成立）则依测度收敛
  • 可测函数的构造
  • 依测度收敛
    • 几乎一致收敛也是基本上一致收敛（测度趋近0）
    • 关系
• 积分论（很多内容前面都有E含于欧几里得空间且为可测集）
  • 非负简单函数的L积分
    • • 特征函数
    • 性质
      • 线性相关2，其中a,b必须是非负的
      • 区间可加性1，不相交
      • 连续性，区间递增，积分极限=极限积分
  • 非负可测函数的L积分
    • • 积分范围是【0，∞】，当积分＜∞时，称之为L可积
    • 性质
      • mE=0,L积分为0
      • L积分为0 充要 f=0 a.e.与E
        • 必要性，从E[f不等于0]入手（1/n)，证，测度为0，根据定义利用特征函数 充分，拆分区间
      • 积分有限（＜∞），则f非负有限a.e.于E
      • 单调性
        • 区间
        • 函数
          • 几乎处处≥的可积，则小的可积
            • 找大的来控制，判断可积
      • 区间可加性
      • 线性相关性 a非负
    • 定理
      • 逐项积分定理
        • 积分求和=求和积分（对fn)
      • 莱维定理
        • 非负可测函数列fn，若他渐增，则极限积分=积分极限
        • 而对于渐减，必须有首项f1可积，即积分＜∞
      • 法图引理
        • 非负可测函数列，下极限的积分≤积分的下极限
      • 测度集中也有
  • 一般可测函数的L积分
    • • 至少一个有限（＜∞）--f在E上积分确定，右边就是f在E上的L积分
        • 积分确定（≤∞）≠可积（＜∞）
      • 两个有限时，才称L可积
        • 证f可积 充要 证/f/可积
      • L（E):E上L可积函数的全体
    • 性质
      • E≠空集，且mE=0,则在E上的任意实函数f∈L（E），且积分为0
      • f∈L(E)，则/f(x)/＜∞ a.e.于E
      • f在E上积分确定，则在E上任意可测子集A上也积分确定
        • 区间可加性
      • 单调性
        • • 若是f可积的，则g也可积
      • 线性性质
      • 可数可加性
        • 对不相交的区间
      • 绝对连续性
        • 当测度足够小时，积分也小
    • 定理
      • 控制收敛定理
        • • 利用法图
        • • 通过里斯定理找子列化成上一个
      • 逐项积分定理
  • R积分和L积分
    • f在[a,b]上有界，则f在[a,b]上R可积 充要
      • f在[a,b]上a.e.连续，即f的不连续点全体构成零测度集
      • 振幅w(x)=0a.e.于[a,b]
      • w(x)在[a,b]上的L积分为0
      • 上积分=下积分
    • f在[a,b]上有界，若R可积，则L可积，且积分值等
    • L积分：重积分有限则累次积分相等且等于累次积分