函数极限与连续

这是一篇关于函数极限与连续的思维导图，主要内容包括：概念与特性，图像，极限，连续与间断。这张导图无论是对知识的系统掌握，还是查漏补缺，都极具价值。

函数极限与连续

• 概念与特性
  • 函数
  • 反函数
    • 图像
      • 反双曲正弦函数
      • 反双曲余弦函数
    • 一个函数和它的反函数作用在一起，效果就是“抵消”，等于什么都没做 f⁻¹(f(x)) = x f(f⁻¹(x)) = x
  • 复合函数
  • 隐函数
  • 特性
    • 有界性
      • 常见三角函数的值域
    • 单调性
      • 利用导数时注意： 设 f(x) 在区间 I 上可导,则 ①f'(x) > 0(< 0)⇒f(x) 单调增加(单调减少) ②f'(x) ≥ 0(≤ 0)⇔f(x) 单调不减(单调不增)
      • 复合函数的单调性 设函数 f(x) 单调增加, g(x) 单调减少, 则: f[f(x)], g[g(x)] 都单调增加(假设复合有意义) f[g(x)], g[f(x)] 都单调减少
    • 奇偶性
      • 认识常见奇偶函数
      • 内偶则偶，内奇同外
      • 奇偶反转
        • 求导
          • 在x=0处，偶函数的奇次导为0，反之亦然
        • 积分
          • 若f(x)是奇函数，下角标不限制
      • 奇函数特殊定理
        • 见p8
    • 周期性
      • 复合函数同周期
      • 导数同周期
      • 积分的周期
      • 特殊结论
        • p8
• 图像
  • 常数函数
  • 幂函数
    • 26 p62上
    • 研究最值方法
      • p9下部分
  • 指数函数
  • 对数函数
  • 三角函数
    • 正余弦
    • 正余切
    • 正余割
      • 值域
  • 反三角函数
    • p14中
    • 反正余弦
    • 反正余切
      • p16上部分
      • 单调性
      • 奇偶性
      • 特殊性质
      • 极限
  • 特殊性质
    • sin(arcsinx)恒等x，arcsin(sinx)需注意x定义域
  • 分段函数
    • 绝对值
    • 取整函数
      • p17中部
      • 等式
      • 不等式
      • 极限
• 极限
  • 定义
  • 性质
    • 唯一性：如果极限存在，那么极限唯一
    • 局部有界
    • 局部保号性
      • 脱帽两边严格不等
      • 带帽两边非严格不等
    • 无穷小
      • 高阶无穷小
      • 低阶无穷小
      • 同阶无穷小
      • 等价无穷小
        • 常用等价无穷小
      • k阶无穷小
      • 性质
        • 无穷小的运算
          • p27下部
        • 无穷小的代换原则
          • 乘除可以换
          • 加减代换需要满足被代换的两者不等价且存在
    • 存在性
      • p24下部
  • 计算
    • 常见方法
      • 洛必达
        • 用于计算0/0或♾️/♾️型
        • 趋向速度比较
          • p27上部
      • 泰勒公式
        • 展开原则
          • A/B型，上下同阶
          • A-B型，幂次最低，系数不等
    • 七种未定式
      • 0/0
        • 可优先考虑泰勒
      • ♾️/♾️
        • 分子分母同除各项中最高阶无穷大。
      • 0*♾️
      • 洛必达，抓大头，等价无穷小
      • ♾️-♾️
        • ①如果函数中有分母，则通分，将加减法变形为乘除法，以便于使用其他计算工具（比如洛必达法则） ②如果函数中没有分母，则可以通过提取公因式或者作倒代换，出现分母后，再利用通分等恒等变形的方法，将加减法变形为乘除法 ③如果是根式差，乘一个分子分母均为共轭根式的式子来进行有理化v
      • ♾️⁰
      • 0⁰
      • 取指对数
      • 1∞
        • 用公式
        • 观察分数与指数是否互为倒数
    • 做题技巧： ① 凑对数，化减为除： 遇到 `ln(A) - B` 型，将 `B` 换为 `ln(eᴮ)`，合并为 `ln(A / eᴮ)` ② 拆常数，分组配对： 遇到 `n` 项和减 `n`（如 `a+b+c-3`），将 `-n` 拆为 `n` 个 `-1`，配对成 `(a-1) + (b-1) + (c-1)`
    • 四则运算与特殊结论
      • p24下部
      • 上推下需要确保A≠0
    • 常用的无穷比较
    • 重要极限
      • p29
    • 数列极限
      • 数列
        • 等差数列
          • 通项公式
          • 前n项和
        • 等比数列
          • 通项公式
          • 前n项和
        • 常见数列前n项和
        • 重要数列结论
          • p47上部
      • 数列极限
        • 绝对值继承定理
          • p48中部
        • 收敛数列性质
          • 唯一性
          • 有界性
          • 保号性
            • 极限正，后面正 极限负，后面负
        • 归结原则
        • 求极限的方法
          • 夹逼准则
            • 重要不等式
              • p52
              • 绝对值
                • 推广
              • 平方
                • 推广
              • 三角函数
              • 对数
              • 指数
              • π相关
            • 特殊结论及推广
              • p54上
          • 利用定积分定义
            • ①提取1/n，凑i/n，写出求和符号 ②1/n换成dx，i/n换成x，求和符号换成积分符号
          • 在求n项和的数列极限时，判断使用夹逼原理还是定积分定义的关键，在于分析分母的构成 ①我们将分母中不随求和项变化的部分称为“主体部分”（例如n²），将随求和项变化的部分称为“变化部分” ②当“变化部分”的最大值与“主体部分”相比是低阶无穷大时（即两者的比值极限为0），应该使用夹逼原理 ③当“变化部分”的最大值与“主体部分”相比是同阶无穷大时（即两者的比值极限是一个不为0的常数），就应该使用定积分定义。
          • 利用单调有界准则
            • ①证明单调性：作差，作商，数学归纳法 ②证明有界：不等式 ③设极限，对通项公式两边取极限，解出极限(根据范围筛选)
              • 单调有界准则
                • 定义
                  • 单调数列必有极限，数列单增有上界，单减有下界
                • 证明单调性的方法
                  • 通项相减/相比
                  • 数学归纳法
                  • 重要不等式
                  • 两对通项运算结果同号，则数列单调
                  • 对通项函数求导
        • 常见数列极限
          • 不定式
            • 概写成函数极限使用洛必达
          • n项和
            • 夹逼，定积分定义，级数求和
          • n项连乘
            • 夹逼，取对数化成n项和
          • 递推关系
            • 难以判断单调性或不存在单调性时用方法2
        • 特殊结论
• 连续与间断
  • 连续
    • 定义
      • • 左右极限相等且等于该点函数值
    • 性质
      • 连续函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合仍连续
      • 基本初等函数在其定义域内连续;初等函数在其定义区间内连续
      • 闭区间上连续函数的性质
        • 有界性 若 f(x) 在[a,b]上连续,则 f(x) 在[a,b]上有界
        • 最值性 若 f(x) 在[a,b]上连续,则 f(x) 在[a,b]上必有最大值和最小值
        • 介值性 若 f(x) 在[a,b]上连续,且 f(a)≠f(b),则对 f(a)与f(b)之间任一数 C,至少存在一个 ξ∈(a,b),使得 f(ξ) = C
        • 零点定理 若 f(x)在[a,b]连续,且 f(a)·f(b) < 0,则必存在 ξ∈(a,b),使 f(ξ) = 0
  • 间断点
    • 可去间断点：左右极限存在且相等
    • 跳跃间断点：左右极限存在但不相等
    • 第一类间断点：左右极限均存在
    • 无穷间断点：左右极限至少一个为无穷
    • 振荡间断点：如x=0为f(x)=sin1/x的震荡间断点
    • 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在