矩阵学习笔记

矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。本图介绍了矩阵的定义及基本运算、矩阵的逆、伴随矩阵、初等变换与初等矩阵、矩阵方程等。

第2讲 矩阵

• 矩阵的定义及其基本运算
  • 矩阵的本质
    • 矩阵的初步认识-表达系统信息.
    • 重要观点1：矩 阵 也 是 由 若 干 行 （列 ）向置拼成 的
    • 重要观点2： 矩 阵 不 能 运 算 ，但 是 其 若 干 行 （列 ）向 量 之 间 存 在 着 某 种 联 系
    • 矩阵的秩
      • 定义①设A是m×n矩阵，A中最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的秩，记为r(A).
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      • 定义②若存在k阶子式不为零，而任意k＋1阶子式(如果有的话)全为零 ，则r(A)=k，且r(Anxn)=n ⇔ |A|≠0 ⇔ A可逆.
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      • 矩阵秩的本质：组成该矩阵的线性无关的向量的个数
  • 定义
    • n阶方阵（n阶矩阵）
    • 同型矩阵
  • 基本运算
    • 线性代数向量不用打箭头
    • 相等
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      • A、B为同型矩阵且对应元素相等
    • 矩阵的线性运算
      • 加法
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        • A、B为同型矩阵且对应元素相加
      • 数乘矩阵 （数乘运算）
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        • A的每一个元素都乘以k
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      • 运算规律
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        • 结合律：(AB) C = A (BC)
        • 左分配律：(A + B) C = AC + BC
        • 右分配律：A (B + C) = AB + AC
      • 不满足的运算规律
        • 不适合交换律。即使对于方阵，一般地，AB ≠ BA
        • 不适合消去律。即 AC = BC 且 C = 0 ⇏ A = B
        • AB = 0 ⇏ A = 0 或 B = 0
        • 一般地，|A+B|≠|A|+|B|
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    • 矩阵乘法
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      • 矩阵乘法逆运算：矩阵分解
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        • 考点：矩阵分解+矩阵的幂+矩阵乘法结合律 思路：矩阵的迹
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      • 矩阵运算满足的运算规律
        • 矩阵加法
          • 矩阵乘法 交换律：A+B= B+A
        • 矩阵乘法
          • 矩阵乘法 结合律
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          • 矩阵乘法 分配率
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          • 数乘与矩阵乘积 的结合律
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          • A=AE=EA
            • E为单位阵
          • 天然成立
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      • 矩阵运算不满足的运算规律
        • 一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA.一般情况下
          • 反例： 
          • A、B不能交换
          • (AB)³≠A³B³
          • (A+B)³≠A³B³
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        • AB=AC，A≠0 ⇏ B=C
          •   C=0 AB=AC 但是 B≠C
    • 转置矩阵
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      • 行列互换
      • 转置矩阵满足的运算规律
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      • 实战总结
    • 向量的内积与正交
      • 向量的内积
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      • 向量的正交
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      • 向量的模
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        • 模长为双竖杠，与行列式单数杠区分
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      • 标准正交向量组 （单位正交向量组）
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        • 考点：初等变换解正交向量+单位化 易错点：单位向量区分正负号
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    • 施密特正交化
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      • 规范正交基（基：个数等于维数）
      • 施密特正交化（宇哥）
        •  α₁/||α₁||，α₁方向的单位向量
        • 考点：单位正交化 思路：向量先扩大倍数，再单位化
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    • 矩阵的幂
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      • 实战
        • 考点：矩阵的幂+矩阵乘法结合律+数乘矩阵结合律 思路：根据矩阵乘法做
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        • 试算法
          • 考点：矩阵的幂+矩阵相乘试算+奇偶次幂讨论+矩阵乘法结合律 思路：找出低幂次的规律
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    • 方阵乘积的行列式
      • 方阵乘积的行列式：设A，B是同阶方阵,则IABI=IAIIBI
      • 设A，B是同阶方阵，则IABI=IAI·IBI
    • 几个重要矩阵
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      • 首先都是方阵，关于主对角线对称
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        • 前提是方阵
        • 考点：转置运算规律+矩阵乘法结合律+对称矩阵+正交矩阵 思路：A²=E，AT=A ⇒ ATA=E ⇒A是正交阵
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        • 子式 = 行列式 子矩阵 = 矩阵
        • 分开矩阵的基本运算
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• 矩阵的逆
  • 前提：矩阵是方阵
  • 定义
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    • 可逆矩阵一定是方阵
    • A可逆：A A逆 = E
    • 前提：A、B都是方阵 A、B互为逆矩阵 ⇔ A、B乘积可交换：AB=BA=E
  • 逆矩阵的性质与重要公式
    • 设A,B是同阶可逆矩阵，则满足：
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        • 矩阵乘法结合律： 
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        • 转置穿脱规则 逆运算： 
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    • 设A,B是同阶可逆矩阵，不满足：
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  • 求逆矩阵
    • 求抽象矩阵的逆
      • 方法一：利用定义求逆矩阵.
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        • 考点：可逆矩阵定义式AB=E + 凑配法 + 矩阵乘法分配律 思路：AB=E →凑配法凑出A（+E-E），找到B
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      • 方法二：将A分解成若干个可逆矩阵的乘积.
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        • 考点：可逆矩阵定义式+提公因子法+矩阵乘法分配律 思路：将A+B化成已知可逆矩阵的乘积
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      • 方法三：一些简单分块矩阵的逆。
    • 子主题
    • 求具体数值矩阵的逆
      • 用伴随矩阵求逆矩阵
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        • 考点：二阶矩阵的逆矩阵 思路：用伴随矩阵求逆矩阵 结论：二阶求逆口诀：主对调，副变号
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• 伴随矩阵
  • 前提：矩阵是方阵
  • 伴随矩阵的定义
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    • 任何方阵都有伴随阵
    • 二阶伴随矩阵
      • =|A|·E 
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  • 伴随矩阵的性质与公式
    • 满足的公式
      • 前提：当|A|≠0时，A可逆，有
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    • 不满足的公式
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• 初等变换与初等矩阵
  • 初等变换
    • (1)一个非零常数乘矩阵的某一行(列)
    • (2)互换矩阵中某两行(列)的位置;
    • (3)将矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列).
  • 初 等 矩 阵
    • 定义
      • 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 以3阶矩阵为例.
      • • k≠0
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    • 性质与公式
      • 初等矩阵的转置仍是初等矩阵.
      • 初等矩阵都是可逆矩阵
        •  |Eij| 行列式，互换一次，乘一次（-1） |Eij(k)| 行列式，某行列k倍加到另一行列，行列式的值不变，|E|=1
        • 初等矩阵de可逆矩阵仍是同一类型de初等矩阵
      • 若A是可逆矩阵，则A可以表示成有限个初等矩阵的乘积
        • 可逆矩阵A一定可以经过有限次初等变换化成同阶单位矩阵E
      • 左行右列定理
    • 用 初 等 变 换 （初 等 矩 阵 ）求逆矩阵
• 矩阵方程
  • AX=B
  • XA=B
  • AXB=C
• 矩阵的秩与等价矩阵
  • 秩
    • 定义
    • 初等变换不改变秩
    • 几个重要式子
  • 等价矩阵
• 浮动主题

矩阵运算

• 重要六组公式
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    • 穿脱原则
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      • 3.
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• 求Aⁿ
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    • B、C其中一个为E
    • 常用数学工具
      • 二项式定理
        • 前提：BC=CB（B、C满足矩阵乘法交换律）
    • 实战总结
      • 考点：矩阵的幂+矩阵分解+二项式定理+矩阵加法 思路：E和任意矩阵可交换
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• 关于A*，A
• 主题

中心主题

• 主题
• 主题
• 主题