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高等数学思维导图
这是一篇关于高等数学的思维导图。众所周知，高等数学是一门非常深奥的学科。包括考研数学中的高等数学部分，干货满满。
编辑于2021-09-10 22:45:54
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- 大纲
高数
Ch1 函数
实数集 区间
集合
集合的关系
母集 & 子集
相等
集合的表示
列举法
描述法
维恩图
集合的运算
并
交
差
非
集合的分类
空集 & 非空集
实数集 R
整数集 Z
非负整数集（自然数集） N
有理数集 Q
区间
区间端点
区间长度
邻域
邻域 N（x0）
去心邻域 N（a，δ）
函数的概念
常量 & 变量
函数的定义
两个变量
自变量
因变量
三个要素
定义域
对应法则
核心
值域
分段函数
符号函数 sgn
取整函数 [x]
函数的特性
奇偶性
定义域关于原点对称才有奇偶性
奇偶性前提
函数图形关于y轴对称为偶，关于原点对称为奇
周期性
最小正周期
周期函数未必总有最小正周期
常数函数
非常数周期函数
狄利克雷函数
单调性
有界性
有界 ↔ 上界+下界
初等函数
反函数
定义
几何意义
反函数与原函数关于直线 y=x 对称
存在的充分条件
严格单调
反函数单调性不变
并非所有函数都有反函数
只有自变量和因变量一一对应的函数才能满足反函数
基本初等函数
幂
指
对
三角
反三角
复合函数
初等函数
幂指函数
非初等函数
隐函数
参数方程
数学模型与拓展
建立函数关系
物理关系
几何条件
Ch2 导数与极限
导数
引子
曲线的切线
变速直线运动的速度
定义
自变量增量
函数增量
导函数
几何意义
切线斜率
法线
函数的增加率
边际收入
边际成本
极限
数列极限
数列性质
有界性
有界数列
无界数列
单调性
收敛性
收敛数列
发散数列
定义
ε - N 定义
柯西 - 魏尔斯特拉斯
几何意义
数列 相当于 整序函数
类比函数有界性
邻域两条平行直线内
收敛性判断
定理 1
数列 an 收敛于 L
任一子数列都收敛于 L
子数列 a2n 和 a2n-1 都收敛于 L
相互等价
定理 2
收敛数列必是有界数列
数列有界是数列收敛的必要条件
数列有界 ↛ 数列收敛
｛ (-1)^n ｝
数列发散
子数列发散（极限不存在或为∞）
两个子数列极限不同
函数极限
1）自变量趋于有限值时函数的极限
定义
“ ε - δ ”定义
函数 f(x) 在 x=x0 处极限是否存在与在该点有无定义无关
函数 f(x) 在 x=x0 处函数值与在该点有无极限无关
连续 & 间断点
几何意义
邻域两条平行线内
2）单侧极限
情形
分段函数
分段点
定义闭区间上的函数
区间端点
定理 3
函数在点 x0 处极限 = A ↔ 该点左极限 = 右极限 = A
3）自变量趋于无穷大时函数的极限
三种情况 （+∞、-∞、∞）
定义
”ε - X“ 定义
几何意义
两侧无穷区间 两条平行线间
水平渐近线
定理 4
函数在 ∞ 处极限 = A ↔ +∞ 极限 = -∞ 极限 = A
极限的性质
定理 5 （唯一性定理）
极限存在即唯一
定理 6 （局部有界性定理）
定理 7 （局部保序性定理）
推论 1 （局部保号性定理）
推论 2 （局部保号性定理之加强逆定理）
无穷小与无穷大
无穷小
定义
是一个在某趋限过程中极限为 0 的函数或数列
是一个变量
辨析
零也是无穷小
零是常数函数，其极限也是零
绝对值无论多么小的非零常数都不是无穷小
定理 8 极限基本定理
lim f(x) = A（ x → x0） ↔ f(x) = A + α(x）
无穷大
正无穷大
负无穷大
记号只是书写方便，实际上无穷大极限不存在
铅直渐近线
两侧趋近
左趋近
右趋近
关系
定理 9
函数 f(x) 是无穷大 → 1/f(x) 是无穷小
函数 f(x) 是无穷小 + f(x) ≠ 0 → 1/f(x) 是无穷大
Tips
∞ × ∞ = ∞
∞ ± ∞ ≠ ∞
∞ × 有界量 ≠ ∞
1/x × sinx （x→0）
x × sin(1/x) （x→∞）
∞ × 有界量（绝对值有下界M>0）= ∞
极限运算法则
无穷小运算法则
定理 10
有限个无穷小的和仍是无穷小
定理 11
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
有界函数 - 三角函数
推论 1
常数与无穷小的乘积仍是无穷小
推论 2
有限个无穷小的乘积仍是无穷小
反例很特殊，记住结论即可
极限的四则运算法则
定理 12
极限的四则运算法则
可加性
可乘性
可除性
前提：极限存在
推论 1
齐次性
常数 C
推论 2
次方性
正整数次方 k
复合函数求极限的变量代换（换元）法则
极限存在的两个准则
夹逼准则
函数
数列
单调有界准则
函数
函数在区间单调有界，区间端点左右极限或∞极限存在
数列
单调有界数列必收敛
两个重要极限
1
三角函数或反三角函数的分式函数的极限
e
幂指函数的极限
无穷小的比较
无穷小的阶
同阶无穷小
等价无穷小
传递性
高阶无穷小
低阶无穷小
定理 14
等价无穷小代换定理
不能随意用在和或差中
无穷小的主部
定理 15
两个无穷小量等价的充要条件
函数的连续性
定理 16
连续 ↔ 左连续 + 右连续
等效条件
1. f(x) 在点 x0 处有定义
2. f(x) 在点 x0 的极限存在且等于 f(x0)
连续函数的运算性质
A. 四则运算
定理 17
推论——有限个连续函数的和、积也是连续函数
连续性具有线性性质
B. 复合函数的连续性
定理 18
定理 19
两个连续函数构成的复合函数在一定的区间内也是连续函数
C. 反函数的连续性
定理 20
原函数在区间上连续且严格单调 → 其反函数（存在前提下）在原函数值域内也连续且严格单调
初等函数的连续性
定理 21
基本初等函数在定义域内都是连续的
定理 22
一切初等函数在其定义区间内都是连续的
有些初等函数的定义域中除了定义区间外，还存在一些孤立的点
初等函数在定义域内未必都是连续的
间断点（不连续点）
求已知函数的间断点
1. f(x) 无定义的点
2. f(x) 有定义的点
x0 点极限不存在
左/右极限不存在
左极限 ≠ 右极限
x0 点极限存在 ≠ f(x0)
间断点分类
第一类间断点
可去间断点
f(x0 - 0) = f(x0 + 0)
极限存在
无定义
有定义
函数值 ≠ 极限值
跳跃间断点
极限不存在
f(x0 - 0) ≠ f(x0 + 0)
第二类间断点
无穷间断点
极限值为 ∞
振荡间断点
f(x) = sin (1/x) f(0) = 0
f(x0 - 0) 、 f(x0 + 0)至少有一个不存在
闭区间上连续函数的性质
1. 基本原理
闭区间上连续函数的值域一定也是一个闭区间
2. 最值定理
闭区间上连续 → 必有最值
3. 有界性定理
闭区间上的连续函数在该区间上必有界
4. 介值定理
5. 零点存在定理
零点不是点
方程根的个数 / 含根区间 两条曲线（直线）交点个数
构造目标函数（辅助函数）
构造含根区间
二分法求方程近似解
导数的计算
函数可导与连续的关系
可导的充要条件
可导必连续
单侧导数
左导数 = 右导数
函数求导法则
1. 四则运算法则
线性运算性质
2. 反函数求导法则
反函数的导数等于该函数的导数的倒数
原函数有定义
反函数严格单调、可导
反函数二阶导、三阶导公式推导
3. 复合函数求导法则（链式法则）
基本求导公式
隐函数求导
方程确定的隐函数求导数
曲线方程求某点切线方程
对数求导法
适用于
幂指数函数的求导问题
具有多因子乘积或指数形式的函数
取对数之前必须先取其绝对值
由参数方程确定的函数的导数
极坐标系下曲线的切线问题
导函数仍是参数方程形式 即导函数的自变量是参数，而不是 x
高阶导数
莱布尼茨公式
数学模型与拓展
与连续函数有关的例子
1. 赛车/运动员 & 路程/平均速度问题
2. 椅子的稳定问题
Ch3微分学基本定理
微分学
1. 线性近似
局部线性近似公式
误差
绝对误差
绝对误差限
相对误差
相对误差限
2. 微分 dy
可导 ↔ 可微
自变量的微分 dx
导数又称“微商”
几何解释
以直代曲
3. 基本初等函数的微分公式与微分运算法则
A. 基本初等函数的微分公式
B. 微分的四则运算法则
C. 复合函数的微分法则
（一阶）微分形式不变性
微分中值定理
1. 费马定理
函数在邻域内有最值时，最值点若可导则导数为 0
2. 罗尔中值定理
闭区间连续 开区间可导 → 至少存在一点导数为 0 f(a) = f(b)
3. 拉格朗日中值定理
定义
闭区间连续 开区间可导 → 至少存在一点 ξ 使得：f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a)
有限增量公式
拉格朗日中值定理（有限增量定理）
用途
证明不等式
推论
A. (a,b）内 f'(x) ≡ 0 → (a,b）内 f(x) ≡ C
B. (a,b）内 f'(x) ≡ g'(x) → 存在常数C，使得 (a,b) 内 f(x) = g(x) + C
积分学
4. 柯西中值定理
闭区间连续 f(b) - f(a) f'(ξ) 开区间可导 → 至少存在一点 ξ 使得: —————— = ———— g'(x) ≠ 0 g(b) - g(a) g'(ξ)
概要
三个中值定理层层递进：特例 ⇔ 推广
存在 ξ ∈ (a,b) 满足结论，并非任意点都满足
都仅仅指出了 ξ 的存在性，没有给出确定 ξ 的方法
Tips
1. 几何意义
2. 辅助函数构造经验
3. 暴力求出辅助函数
洛必达法则
1. 未定型
使用洛必达法则的前提
共 7 种
2. 在求数列极限中的应用
海涅定理
沟通函数极限和数列极限的桥梁
函数极限 → 数列极限
泰勒公式
1. n 阶泰勒多项式
2. n 阶泰勒公式
A. 带佩亚诺型余项
B. 带拉格朗日型余项
麦克劳林公式
基点 x0 = 0
3. 几个常用函数的泰勒公式
4. 泰勒公式的应用
A. 利用 带拉格朗日型余项的泰勒公式 进行 近似误差估计
B. 利用 带佩亚诺型余项的泰勒公式 进行 函数极限的计算
C. 证明不等式
数学模型与拓展
1. 迭代
递推公式
斐波那契数列
2. 拉格朗日插值
Ch4 导数的应用
函数的单调性、极值与最值
1. 函数的单调性
2. 函数的极值
I. 极值的定义
极值
极大值
极小值
局部性概念
最值点一定是极值点
极值点
极大值点
极小值点
极值点不是点而是自变量的值 x0
II. 极值点的必要条件
A. 函数在点 x0 处有导数且为极值点 → 该点导数 = 0
B. 函数的极值点必定是其驻点或导数不存在的点
重要概念
驻点
使导数为 0 的点 x0
可微函数的极值点必为驻点
驻点未必是极值点
临界点
1. 函数的驻点
2. 函数导数不存在的点（不可导点）
III. 极值点的充分条件
A. 一阶充分条件
确定定义域
求出导函数
确定驻点和不可导点
划分单调区间
B. 二阶充分条件
凹凸笑脸
3. 函数的最值
A. 极值
B. 端点函数值
4. 方程根的个数
图形结合思想
函数的凹凸性与拐点
1. 凹凸性定义
2. 函数凸性的条件
I. 一阶充分条件
II. 二阶充分条件
凹凸笑脸
III. 二阶必要条件
3. 凸函数的性质及其几何意义
I. 性质 1
凸函数图形在任一点处切线之上方
II. 性质 2
凸函数图形在任两点件的弧段必在其对应弦之下方
III. 凸函数的杰生不等式
常用于证明不等式
4. 拐点
I. 定义：连续函数图形上凹凸性的切换点
II. 必要条件
f ''(x0) = 0 的点
f ''(x0) 不存在的点
III. 充分条件
x0 点左右f ''(x0) 异号
平面曲线的曲率
1. 曲率的概念
平均曲率
在转角相同的条件下，弧长短的曲线弧弯程度高
圆的平均曲率
曲率
2. 曲率的计算公式
I. 曲线倾角的微分
II. 曲线弧长的微分
平面直角坐标系弧微分公式
参数方程形式弧微分公式
极坐标方程形式弧微分公式
III. 曲率的计算公式
3. 曲率半径、曲率中心和曲率圆
I. 曲率半径
II. 曲率中心坐标公式
III. 曲率圆方程
渐近线
1. 牛顿三叉戟
2. 曲线渐近线的定义
I. 水平渐近线
直线
II. 铅直渐近线
直线
III. 斜渐近线
直线
斜渐近线的充要条件
1. 任一极限不存在 → 曲线没有斜渐近线
2. k=0 → 该此渐近线退化成水平渐近线
3. 函数图形的描绘
A. 确定函数定义域，观察函数是否有奇偶性及周期性，确定其连续区间及间断点
B. 求出函数的一阶函数 f'(x)，根据 f'(x) 符号确定函数的单调区间、极值点与极值
C. 求出函数的二阶函数 f''(x)，根据 f''(x) 符号确定函数的凹凸区间及图形的拐点坐标
D. 求出函数图形可能存在的各种渐近线，以确定其向无穷远处伸展的形态
相关变化率
1. 灯柱影子问题
2. 体积高度问题
复合函数求导法则
方程的近似解
牛顿迭代法（切线法）
点列收敛于方程根的充分条件
A. [a,b]上连续、二阶可导
B. f(a) f(b) < 0
C. f'(x) ≠ 0
D. f''(x) ≠ 0
数学模型与拓展
Ch5积分
定积分的概念
1. 定积分问题的产生
I. 几何问题：曲边梯形面积的计算
A. 穷竭法
阿基米德
圆周率 & 圆的面积
B. 矩形法
分割
近似
求和
取极限
II. 物理问题：变速直线运动的路程计算
分割
近似
求和
取极限
2. 定积分的定义及其几何意义
I. 定义术语
可积、定积分
被积函数、积分表达式、积分变量
积分上限、积分下限
积分和（黎曼和）、积分区间
II. 定积分的几何意义
各个图形面积的代数和
3. 定积分存在的条件
I. 可积的必要条件
可积必有上界
II. 定积分存在定理
连续函数或分段连续函数（至多有有限个第一类间断点）必可积
连续函数一定是可积函数
定积分的性质
1. 对被积函数的可加性
2. 对被积函数的齐次性
推论1：对被积函数的线性运算性质
3. 对积分区间的可加性
4. 改变f(x)的有限个点上的函数之后所得的函数仍可积且积分值不变
区间 [ a , b ] a 与 b大小任意
5. 对被积函数的保序性
推论2：对被积函数的保号性
6. 估值定理
7. 中值定理
广义的积分中值公式
要求：a ≤ b
微积分基本定理
1. 微积分第一基本定理
f(x)连续 → 变上限积分函数可微
微分（求导）运算与积分运算是一对互逆的运算
1.变上限、变下限 2.复合形式
2. 原函数和不定积分
I. 原函数
A. 定义
B. 存在定理
连续函数必有原函数
C. 原函数族
不定积分
1. 积分号
2. 被积函数
3. 被积表达式
4. 积分变量
+C
II. 基本积分表
3. 微积分第二基本定理
牛顿-莱布尼茨公式
数学模型与拓展
1. 微分学的中心问题
切线问题
2. 积分学的中心问题
求积问题
桥梁：微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
Ch6 积分法
不定积分的基本积分法
1. 不定积分的性质
I. 可加性
II. 齐次性
线性运算性质
2. 不定积分的换元法
I. 第一换元法（凑微分法）
A. 凑微分
B. 换元
C. 计算积分
D. 回代
II. 第二换元法
A. 三角代换
B. 倒数变换
3. 不定积分的分部积分法
4. 几种特殊类型函数的积分
I. 有理函数的积分法
针对有理真分式（有理假分式=整数+有理真分式）
留数定理
II. 三角有理函数的积分法
万能变换
III. 简单无理函数的积分法
最小公倍数
定积分的基本积分法
1. 定积分的换元法
I. 第一换元法（凑微分法）
不需要回代，换元必换限
II. 第二换元法
A. 奇0偶倍
B. 任意长度为T的区间上的定积分值均相等，与积分区间的起点无关
C. 翻折变换
证明定积分恒等式
2. 定积分的分部积分法
华里士公式（点火公式）
定积分的数值积分法
1. 矩形求积方法
I. 左端点矩形求积公式
II. 右端点矩形求积公式
III. 中点求积公式
2. 梯形求积方法
梯形求积公式
以直代曲
1. 四种近似方法的计算结果精度都随n增大而提高
2. 中点分式的误差绝对值 ≈ 1/2梯形公式误差绝对值
3. 精度关系：中点>梯形>左右端点
3. 抛物线求积方法
抛物线求积公式（辛普森公式）
数学模型与拓展
1. 极坐标曲线的绕圈周期
2. 关于积不出函数
许多初等函数的原函数不是初等函数
Ch7 定积分的应用与广义积分
定积分的微元法（元素法）
1. 术语
I. 微元（元素）
II. 微元法描述（元素法描述）
III. 微元法（元素法）
2. 四个步骤
A. 分割
B. 近似
C. 求和
D. 取极限
几何应用
1. 平面图形的面积
I. 直角坐标系下的面积公式
A. 类型
1. 两平行直线与曲线所夹面积
以 x 为积分变量
以 y 为积分变量
2. 若干条曲线所包围的面积
具体问题具体分析（简便原则）
B. 步骤
1. 画出给定曲线所围图形的草图
2. 根据图形的特点，确定适合哪种情形，从而选定积分变量
3. 如果图形由几条曲线围成，则应解方程组求出有关的交点坐标，从而确定积分区间
4. 计算定积分
注意：有时要将积分区间分成若干个子区间来考虑
II. 极坐标系下的面积公式
核心公式
2. 平面曲线的弧长
I. 直角坐标系
II. 参数方程形式
III. 极坐标系
参见3.3
3. 立体体积
I. 平行截面面积为已知的立体体积
II. 旋转体的体积
A. 绕 x 轴 / 平行于x轴的直线 旋转
积分变量x
B. 绕 y 轴 / 平行于y轴的直线 旋转
积分变量y
平面薄片法（卡瓦列利平行截面原理、祖暅原理）
III. 圆柱薄壳法
4. 旋转体的侧面积
物理应用
1. 变力沿直线所作的功
I. 变力做功问题
II. 克服重力做功问题
2. 液体对侧面的压力
3. 引力
广义积分（反常积分）
1. 广义积分问题的产生
I. 电场中各点处的电位
II. 无界函数图形下“曲边梯形”的面积
2. 无穷区间上的广义积分
收敛
发散
3. 无界函数的广义积分
A. 区间 [a,b]
B. 奇点
1. x=a
2. x=c
3. x=b
4. Gamma函数
泊松积分
数学模型与拓展
函数的平均值
Ch8 无穷级数
数项级数
1. 基本概念
敛散性
决定因素：部分和数列的敛散性
2. 收敛级数的基本性质
A. 齐次性
B. 可加性
C. 增减更改有限项 ⇒ 敛散性不变
D. 任意加括号所形成的级数仍收敛且和不变
I. 加括号后形成的级数收敛 ⇏ 原级数收敛
II. 逆否命题：加括号的级数发散 ⇒ 原级数发散
E. 级数收敛的必要条件
级数一般项趋于 0
3. 正项级数
I. 收敛的充要条件
部分和数列有界（上界）
II. 比较判别法
III. 比较判别法的极限形式
IV. 比值判别法（达朗贝尔判别法）
V. 根值判别法（柯西判别法）
VI. 积分判别法
4. 任意项级数的绝对收敛和条件收敛
5. 交错级数
I. 莱布尼茨判别法
单调减 趋于0
II. 黎曼定理
6. 常用级数及其敛散性
A. 等比级数（几何级数）
B. 调和级数
C. p级数
幂级数
1. 函数项级数的概念
2. 幂级数及其收敛域
I. 阿贝尔定理
II. 收敛半径和收敛区间
III. 收敛域
A. 收敛区间
B. 区间端点中收敛的点
3. 幂级数的性质
函数的幂级数展开及其应用
1. 泰勒级数
I. 唯一性定理
2. 几个初等函数的麦克劳林级数展开式
子主题
子主题
子主题
子主题
3. 间接展开法
4. 函数的幂级数展开式的应用
A. 求数项级数的和
B. 求函数的高阶导数
C. 近似计算
数学模型与拓展
级数求和的经典案例——巴塞尔问题
Ch9 微分方程
微分方程的基本概念
1. 微分方程
A. 定义
含有未知函数及其导数的等式
B. 分类
I. 常微分方程
一元函数
II. 偏微分方程
多元函数
C. 阶
微分方程中出现未知函数导数的最高阶数
D. 解（或积分）
I. 通解（通积分）
含有独立的任意常数 常数个数 = 微分方程的阶
II. 特解
不含任意常数的解
E. 积分曲线（解的图形）
I. 通解的几何图形
一族曲线构成的积分曲线族
II. 特解的几何图形
积分曲线族中一条特定的积分曲线
2. 定解条件
n阶微分方程的通解中，含有n个独立的任意常数，需要n个定解条件
初始条件
1.初值问题（柯西问题）：微分方程与初始条件一起构成的定解问题
3. 边界条件
用以说明方程中未知函数在边界上约束情况的条件
2.边值问题：由微分方程和约束条件一起构成的问题
混合问题：由微分方程与初始条件、边界条件一起构成的问题
一阶微分方程
1. 可分离变量的方程
分离变量法
求通解
求初始条件的特解
方法1
将初始条件代入通解中确定常数C
方法2
2. 一阶线性方程
A. 一阶线性齐次方程
B. 一阶线性非齐次方程
常数变易法
3. 齐次方程
A. 平行换元法
B. 平移换元法
4. 伯努利方程
变量代换法
可降阶的高阶微分方程
1.
多次积分
2. 不显含因变量y的二阶方程
变量代换
3. 不显含自变量x的二阶方程
变量代换
线性微分方程
1. 二阶线性微分方程
I. 弹簧振动问题
A. 自由振动微分方程
B. 强迫振动微分方程
II. 二阶线性微分方程
A. 系数 P(x)，Q(x) 是否为常数
二阶线性常系数微分方程
二阶线性变系数微分方程
B. 自由项 f(x) 是否恒等于0
二阶线性齐次微分方程
二阶线性非齐次微分方程
III. n阶线性微分方程
2. 二阶线性微分方程解的结构
I. 二阶线性齐次微分方程解的结构
A. 线性性质
线性齐次方程的任意两个解的任何线性组合仍然是方程的解
B. 任意两个线性无关的特解是齐次方程的通解
推广：n阶线性齐次方程解的结构
II. 二阶线性非齐次微分方程解的结构
A.
B.
推广：n阶线性非齐次方程解的结构
C. 叠加原理
III. 二阶线性常系数微分方程的解法
A. 二阶线性常系数齐次微分方程
特征方程
1. 两个不同的实根
2. 两个相等的实根
3. 一对共轭复根
B. 二阶线性常系数非齐次微分方程
待定系数法
1.
2.
叠加原理的应用
3. 高阶线性常系数微分方程
4. 欧拉方程
差分方程
CH10 向量与空间解析几何
向量及其运算
1. 概念
I. 数量（纯量、标量）
II. 向量（矢量）
i. 特点
有大小
有方向
ii. 向量的模（向量的范数）
iii. 自由向量
与起点无关的向量
iv. 位置向量（向径、径向量）
起点在原点O
v. 向量之间的关系
A. 相等
B. 平行（共线）
C. 垂直（正交）
vi. 特殊向量
A. 零向量
B. 负向量
C. 单位向量
2. 线性运算
I. 数乘运算
II. 加法运算
三角形法则
平行四边形法则
III. 线性运算
3. 内积（数量积、点积）
I. 几何意义
投影（长度L）
锐角
投影量 > 0
直角
点 —— 0
钝角
投影量 < 0
投影向量
II. 运算法则
i. 交换律
ii. 分配律
iii. 与数乘的结合律
iv.
III. 正交的充要条件
4. 外积（向量积、叉积）
I. 几何意义
平行四边形面积 S（三角形面积的2倍）
II. 运算法则
i. 反交换律
ii. 分配律
iii. 关于数乘的结合律
5. 混合积（框积）
I. 几何意义
锐角
平行六面体的体积 V
钝角
平行六面体的体积 V 的相反数 -V
正负号取值随 a，b，c 的指向是否构成右手法则
II. 特殊性质
轮换不变性
III. 延伸
i. 空间三个向量 a，b，c 共面的充要条件
混合积为 0
ii. 空间四点 A,B,C,D 共面的充要条件
iii. 空间三个向量 a，b，c 共面的充要条件
iv. 克拉默法则
空间直角坐标系与向量
1. 空间直角坐标系
2. 向量代数
I. 向量的线性运算
i. 两点连线向量
终点 - 起点
ii. 定比分点公式
II. 向量的内积运算
i. 向量模
ii. 两点距离公式
iii. 向量 a 在向量 b 上的投影量
iv. 两向量之间的夹角
v. 两向量平行的充要条件
vi. 两向量垂直的充要条件
vii. 非零向量 a 的单位向量 a°
viii. 向量的方向角与方向余弦
III. 向量的外积运算
IV. 向量的混合积运算
平面与直线
1. 平面
I. 平面方程
i. 向量式方程
法向量
ii. 点法式方程
iii. 一般式方程
iv. 截距式方程
v. 黑塞法式方程
方向余弦
vi. 三点式
行列式
II. 两平面交角
i. 一般形式
ii. 垂直
iii. 平行
III. 点到平面的距离
2. 直线
I. 直线——空间常速度向量运动下点的轨迹
i. 向量式方程
方向向量
方向数
ii. 参数式方程
iii. 点向式方程（标准式方程、对称式方程）
iv. 两点式方程
行列式
II. 直线——空间两平面的交线
i. 一般式方程
3. 几个相关问题
I. 两直线的共面问题
II. 两异面直线间的距离
III. 两直线间的夹角
IV. 平面束
投影直线
V. 直线与平面的夹角
直线与法线的夹角
空间曲面
1. 特殊曲面
I. 旋转曲面
II. 柱面
2. 二次曲面
椭球面
单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆抛物面
双曲抛物面（马鞍面）
一元向量函数 空间曲线
1. 一元向量曲线 空间曲线方程
I. 空间曲线的参数方程
线性向量函数
圆柱面螺旋线
II. 空间曲线的一般方程
III. 空间曲线在坐标面上的投影曲线
投影柱面
2. 一元向量函数的导数 空间曲线的切向量
3. 一元向量函数的积分 空间曲线的弧长
数学模型与拓展
1. 曲面的参数表示
2. 曲面S的参数方程
3. 平面的参数方程
CH11 多元函数微分学
多元函数
1. 多元函数的概念
I. 定义
延伸：点函数
II. 定义域
2. 点集
I. 平面点集
i. δ邻域
ii. 去心δ邻域
iii. 内点
iv. 外点
是否存在：点集E中任意点P的某δ邻域仍在点集E中
v. 边界点与边界
E的内点必属于E
E的外点必不属于E
E的边界点可能属于E，也可能不属于E的点
vi. 连通集
vii. 区域（开区域）
viii. 闭区域
存在又闭又开的区域（边界不完全包括的区域）
ix. 有界集与有界闭区域
II. n维区间
3. 二元函数的几何表示
I. 等值线
II. 等高线
地理海拔地图
III. 水线
船体形状设计
IV. 等值面
4. 多元函数的极限
I. 二重极限
i. 四则运算法则
ii. 夹逼定理
任意方式趋近
证明重极限不存在：以两种方式趋近点函数趋于不同的值
5. 多元函数的连续性
I. 连续的概念
i. 连续点
ii. 间断点
iii. 全增量
II. 多元初等函数的连续性
定义区域内连续
III. 间断点的讨论
i. 无定义的点P
ii. 有定义的点P处重极限不存在
iii. 有定义的点P处重极限 ≠ 对于函数值
IV. 最值定理与介值定理
偏导数
1. 偏导数的概念
I. 定义与计算
偏增量
偏导数
II. 二元函数偏导数的几何意义
曲线的切线斜率
III. 简单多元函数偏导数的求法
多元函数的连续性 与 偏导数的存在性 没有因果关系
2. 全微分
I. 概念
II. 可微的必要条件（性质）
i. 点可微 → 点连续
ii. 点可微 → 点两个偏导数都存在
偏导数存在 ↛ 可微
III. 可微的充分条件
i. 两个偏导数存在 + 点连续 → 点可微
3. 全微分在近似计算中的应用
I. 函数值的近似计算
II. 函数增量的近似计算及误差估计
4. 方向导数
是一个极限值
I. 定义
II. 存在定理
点可微
5. 梯度 grad
是一个向量
I. 定义
II. 哈密顿向量微分算子
III. 运算性质
i. 线性运算性质
ii. 乘积类似求导
方向导数 与 梯度模 的关系
复合函数微分法
1. 链式法则
I. 链式图
II. 全导数
2. 全微分的形式不变性
隐函数微分法
1. 由一个方程确定的隐函数
I. 方程
II. 方程
2. 由方程组确定的隐函数
I.
II.
克拉默法则+雅可比行列式
3. 隐函数存在定理
多元函数微分法在几何学上的应用
1. 空间曲线的切线与法平面
I. 参数方程形式曲线L
已知：点+方向向量
切线向量=法平面向量
II. 一般式方程的曲线L
已知：点+两个方程
切向量 = F与G在该点的梯度的向量积（叉积）
2. 空间曲面的切平面与法线
I. 曲面方程
已知：点+方向向量
切平面法向量 = 法线方向向量
II. 曲面方程
泰勒公式
1. 高阶偏导数
2. 泰勒公式
I. n阶泰勒公式
拉格朗日余项
皮亚诺型余项
II. 麦克劳林公式
多元函数的极值与最值
1. 多元函数的极值
I. 极值点
i. 具有偏导数的函数的极值点必是驻点
ii. 极值点必是临界点
iii. 鞍点——不是极值点的临界点
II. 黑塞行列式
2. 多元函数的最大值与最小值
目标函数
3. 条件极值与拉格朗日乘数法
数学模型与扩展
1. 多元函数微分学在经济中的应用
I. 生产函数
II. 最值问题
2. 最小二乘法
CH12 多元函数的积分及其应用
多元函数积分的概念与性质
1. 多元函数积分问题的产生
I. 变密度平面薄片的质量计算
II. 变密度空间立体，空间（平面）曲线，空间曲面的质量计算
2. 多元函数积分的概念
I. 二重积分
i. 面积元素 dσ
直角坐标系中的面积元素 dxdy
ii. 几何意义
曲顶柱体体积的代数和
II. 三重积分
i. 体积元素 dV
直角坐标系中的体积元素 dxdydz
III. 第一型曲线积分（对弧长的平面或空间曲线积分）
i. 弧长元素 ds
ii. 几何意义
柱面上介于积分路径曲线L与L'之间的柱面面积
IV. 第一型曲面积分
i. 面积元素 dS
3. 可积
必要条件
函数 f(P) 在有界几何形体ω上可积 → f(P)在ω上有界
充分条件
函数 f(P) 在有界的闭几何形体ω上连续 → f(P)在ω上可积
4. 多元函数积分的性质
I. 齐次性
II. 关于被积函数的可加性
III. 关于不重叠积分区域的可加性
IV. 对被积函数的保序性
V. 估值定理
度量
VI. 中值定理
要求：连续
平均值
VII. 与积分变量名称的无关性
VIII. 积分区域对变量名称的轮换不变性（特殊情况下）
IX. 奇偶对称性
常用技巧
二重积分的计算
1. 直角坐标系下
I. 积分次序
i. 先y后x
ii. 先x后y
合理选择积分次序：综合考虑被积函数和积分区域两个因素
II. 步骤
i. 先积一条线
ii. 再扫一个面
III. 奇偶对称性
2. 极坐标系下
I. 面积元素 dσ=ρ*dρ*dθ
II. 四种情形
i. 两矢径所夹不包括极点的扇形
ii. 两矢径所夹包括极点的扇形
iii. 包围极点的类圆形
iv. 包围极点的环形
3. 换元法则
I. 雅可比行列式
II. 广义极坐标变换
三重积分的计算
1. 直角坐标系下
I. 先单后重
II. 先重后单
2. 柱面坐标系下
体积元素 dV=ρ*dρ*dθ*dz
3. 球面坐标系下
I. 体积元素
II. 积分次序
先 r 再 φ 后 θ
4. 换元法则
I. 雅可比行列式
II. 广义球面坐标变换
第一型曲线积分的计算
1. 第一型平面曲线积分的计算方法
I. 三种弧微分公式
II. 注意：积分下限 α < 积分上限 β
2. 第一型空间曲线积分的计算方法
弧微分公式
计算基本前提：积分路径L需是参数方程形式
结合积分性质：奇偶对称性，积分值与积分变量的名称无关性
第一型曲面积分的计算
1. 曲面的面积
I. 光滑曲面
II. 曲面的面积元素和曲面的面积
2. 第一型曲面积分的计算方法
I. 计算公式
II. 积分的对称性
i. 对称性成立条件
同时依赖于被积函数关于某些变量的奇偶性以及积分曲面关于响应坐标面的对称性
ii. 具体情形
若 f(x,y,z) 关于 x 具有奇偶性
要求积分曲面 ∑ 关于xOy平面对称
若 f(x,y,z) 关于 y 具有奇偶性
要求积分曲面 ∑ 关于xOz平面对称
若 f(x,y,z) 关于 z 具有奇偶性
要求积分曲面 ∑ 关于yOz平面对称
III. 积分值与变量名称的无关性
要求积分曲面 ∑ 在变量互换后保持不变
多元函数积分的应用
1. 质心 一阶矩
I. 质点 x 关于坐标原点的静矩 —— 一阶矩
静矩具有正负号
II. 直线上质点系的质心
III. 平面薄片 平面质线的质心
IV. 空间几何形体所成物体的质心
2. 转动惯量 二阶矩
惠更斯原理（平行轴定理）
3. 引力
阿基米德的浮力定理
数学模型与拓展
广义重积分
1. 无界区域上的广义重积分
2. 无界函数的广义重积分
CH13 向量函数的积分
第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）
1. 向量场
I. 向量场的概念
i. 场中物理量性质
数量场
向量场
ii. 是否时变
稳定场
不稳定场（时变场）
iii. 数学性质
连续场
可微场
II. 向量线（场线）
向量线上任意一点的切向量与向量场F在该点处的对应向量方向平行
通常向量线是不会相交的
2. 第二型曲线积分问题的产生
变力沿曲线所作功的计算
3. 第二型曲线积分的定义和性质
I. 定义
有向曲线的切向量
II. 物理意义
变力沿有向曲线L对质点所作的功
III. 性质
i. 积分路径的有向性
ii. 分域性质
iii. 线性性质
4. 第二型曲线积分的积分方法
I. 一般方程形式
II. 参数方程形式
5. 两类曲线积分之间的联系
I. 关系式
i. 平面曲线L
ii. 空间曲线L
II. 第二型曲线积分的另一个物理解释
i. 向量场F沿有向曲线L的管流量
ii. 若曲线L为闭曲线 又称环流量（环量）
III. 螺旋场
格林公式
1. 格林公式
I. 引入概念
i. 边界曲线的正向（区域D总在其左侧）
ii. 单连通区域
iii. 多连通区域（复连通区域）
含有“洞”的区域
II. 应用
i. 非封闭积分路径
添加辅助有向曲线
一般选取平行于坐标轴的直线
ii. 奇点
循环常数
iii. 平面区域面积的计算公式
2. 平面曲线积分与路径无关的条件
I. P(x,y) Q(x,y)在区域D连续时的充要条件
I. 沿区域D的任意一条闭曲线L
II. 均有
II. P(x,y) Q(x,y)在单连通区域D有一阶连续偏导数时的充要条件
区域D内处处成立
3. 全微分与全微分求积
I. 全微分与原函数
全微分式（恰当微分式）
原函数
是全微分式的充要条件
区域D内处处成立
II. 全微分式的曲线定理
曲线积分的微积分基本定理
反映边界上的第二型曲线积分与边界所界内部区域上的二重积分之间的一种内在联系
第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）
1. 第二型曲面积分问题的产生
I. 流过空间曲面的流量计算问题
2. 第二型曲面积分的定义和性质
I. 可定向曲面（双侧曲面）
i. 假定条件：曲面上的法向量是随点连续变化的
ii. 莫比乌斯带（单侧曲面）
II. 双侧曲面正侧法向量的确定方法
曲面任意一点的单位法向量
i.
ii.
III. 第二型曲面积分的定义
i. 有向面积元素
ii. 物理意义
向量值函数通过曲面指定侧的通量
IV. 第二型曲面积分的性质
i. 积分曲面的有向性
ii. 分域性质
iii. 线性性质
3. 第二型曲面积分的计算方法
I. 一般步骤
i. 一投
ii. 二代
iii. 三换
4. 两类曲面积分之间的联系
转换关系式
高斯公式
1. 通量与散度
I. 源 & 汇
II. 散度 div
III. 通量密度
2. 高斯公式
I. 高斯公式（奥-高公式）
i. 表达式
ii. 要求：曲面积分沿区域的整个边界曲面 ∑ 的外侧
iii. 非封闭曲面 ∑
增添辅助有向曲面
需将其化为二重积分算出后减去
II. 直角坐标系下散度的计算公式
i. 哈密顿向量微分算子
ii. 散度的运算性质
3. 无散度场的曲面积分
反映了沿闭曲面的第二型面积分与该闭曲面所界空间区域上的三重积分之间的一种内在联系
斯托克斯公式
1. 斯托克斯公式
I. 表达式
II. 要求：L的正向与∑的正侧符合右手规则
2. 环量和旋度
I. 环量面密度
II. 旋度
i. 定义
ii. 运算性质
3. 无旋场的曲线积分
I. 场的分类
i. 保守场
空间曲线积分在某区域内与路径无关
ii. 无旋场
某区域内旋度恒为0
iii. 有势场
势函数
II. 拉普拉斯微分算子
拉普拉斯方程
调和函数
调和量
平面曲线积分中的格林公式在空间情形的推广
数学模型与拓展
1. 飓风模型
I. 涡流
II. 汇流
2. 全微分方程（恰当方程） 积分因子
求微分方程的一种方法
CH14 傅里叶级数
引言
1. 周期函数
I. 周期函数
i. 简谐振动函数（三角函数）
ii. 锯齿波
iii. 矩形波
II. 周期函数的谐量分析（谐波分析）
i. 直流分量
ii. 一次谐波（基波）
iii. 二次谐波
iv. ......
III. 三角级数
2. 三角函数系的正交性
I. 函数系的正交性
II. 三角函数系的正交性
i. 基本三角函数系
任一长为2π的区间上的正交函数系
ii. 一般三角函数系
一个在长为2l的区间上的正交函数系
iii. 标准（规范）正交函数系
周期函数的傅里叶级数展开
1. 周期为2π的函数的傅里叶级数展开
I. 函数的傅里叶级数
i. 欧拉-傅里叶公式
ii. 傅里叶系数
II. 收敛性定理
i. 傅里叶级数展开式
ii. 狄利克雷收敛定理
狄利克雷条件
III. 正弦级数与余弦级数
i. 周期偶函数
余弦级数
ii. 周期奇函数
正弦级数
2. 傅里叶级数的性质
I. 唯一性定理
II. 逐项积分定理
III. 逐项微分定理
3. 周期为2l的函数的傅里叶级数展开
有限区间上定义的函数的傅里叶级数展开
1. 周期延拓
2. 奇延拓和偶延拓
数学模型与拓展
1. 傅里叶系数的几何意义
I. 平方平均距离
II. 傅里叶系数的最优性
III. 贝塞尔不等式
IV. 帕塞瓦尔恒等式
2. 傅里叶级数的复数形式
积分
1. 大化小
2. 常代变
3. 近似和
4. 取极限