考研数学二高数知识点思维导图

这是一篇关于大学考研数学二高数的知识点的思维导图。该思维导图黑体加粗为重点记忆知识点，方便同学们学习记忆。

高数知识点

函数 极限 连续

函数

概念

特殊函数

取整函数

符号函数

复合函数

反函数

基本初等函数

幂函数

指数函数

对数函数

三角函数

反三角函数

初等函数

由 基本初等函数 有限次四则运算和有限次函数复合

性态

单调性

判定

定义

单调递增=导数大于等于0且不恒为0

导数

奇偶性

判定

定义

导数

偶函数导数为奇函数

原函数

连续的奇函数原函数为偶函数

连续的偶函数其原函数有唯一一个是奇函数：以0为下限的变限积分

周期性

判定

定义

可导周期函数其导函数为周期函数

周期函数原函数为周期函数的充要条件：一个周期上的积分为0

有界性

判定

定义

f(x)在[a,b]上连续 =>f(x)在[a,b]上有界

f(x)在(a,b)上连续 ，f(a+)和f(b-)存在=>f(x)在[a,b]上有界

f'(x)在有限区间I上有界=>f(x)在[a,b]上有界

极限

概念

数列极限

函数极限

性质

局部有界性

保号性(注意等号）

保序性

极限与无穷小的关系(表示方法)

极限存在准则

夹逼准则

单调有界准则

只要函数单调且有界即可

无穷小

比较

高阶

同阶

等价

无穷小的阶

性质

有限个无穷小之和/积仍为无穷小

无穷小量与有界量的积仍为无穷小

无穷小量阶的运算 李正元P.159

无穷大

常用比较

无穷大=>无界变量(特例 奇数偶数)

与无穷小关系(f(x）不为0）

连续

间断点(领域/单侧领域，有定义但该点不连续）

第一类(左右极限均存在)

可去间断点

跳跃间断点

第二类(至少一个不存在)

无穷间断点

震荡间断点

性质

连续函数的和差积商即复合仍连续

基本初等函数在定义域内连续；初等函数在定义区间连续

闭区间连续函数的性质

有界性

最值性

介值性

推论

可取介于最大值最小值之间的任何值

零点定理

一元函数微分学

导数

性质

导数介值定理(不需要连续)

导数零点定理(不需要连续)

几何意义：斜率

求导公式

求导法则

有理运算法则

复合函数求导法

隐函数求导法则

反函数求导

参数方程求导

对数求导

高阶导数

微分定义 线性主部

充要条件：可导

几何意义：dy 切线增量

u为自变量时，du=delta u

导数应用

微分中值定理(f(x)连续)

关系

导数定义=>费马定理=>罗尔定理=>拉格朗日

罗尔定理

罗尔定理推论：n阶导不为0，最多n个根

拉格朗日定理(有限增量定理)

柯西定理

泰勒定理

带皮亚诺余项的n阶泰勒公式(比n阶高阶无穷小)

用于一点

带拉格朗日余项的n阶泰勒公式(余项n+1阶)

用于区间

泰勒公式唯一性定理

极值(极值点可不连续)

必要条件：驻点(可导)

充分条件

第一充分条件：领域导数特征(该点导数不需要可导)

第二：二阶导数正负

第三：前n-1阶导数均为0，n为偶数有极值，正极小，负极大

连续函数的最值

驻点+不可导点+端点

若连续函数区间内仅有唯一极值点，该极值为最值

凹向与拐点

凹向定义(不等式/切线定义法）

判定(二阶导)

凹凸性与切线关系

拐点(相邻两侧凹凸性相反,考虑二阶导不存在的点)

前提：拐点必须是连续点

必要条件:二阶导为0

充分条件

第一充分条件：领域二阶导数特征(该点导数不需要可导)

第二：三阶导数正负

第三：前n-1阶导数均为0，n为奇数有拐点

渐近线

水平渐近线

竖直渐近线

斜渐进线

曲率(角度与弧长)与曲率半径

参数方程

用圆来逼近

一元函数积分学

不定积分

原函数

存在性

若连续，则必有原函数(如变限积分)

若有第一类间断点则必没有原函数

初等函数一定存在原函数，但原函数不一定是初等函数

不定积分(就是带有任意常数的原函数)

性质

基本积分公式

三种主要积分法

第一类换元法

第二类换元法

分部积分法

定积分

定义

积分区间有限，被积函数有界

构造积分和，分割任意

积分是一个数，积分变量字母随便换

几何意义

可积性

必要条件：f(x)有界

充分条件

若f(x)连续

若f(x)有界，且只有有限个间断点

f(x)只有有限个第一类间断点

f(x)在[a,b]上单调

闭区间上的单调函数必定有界

计算 (f(x)连续,不连续就分段)

牛顿莱布尼兹公式(f(x)连续,F(x)为闭区间的原函数)

推论1：f(x),F(x)连续,F(x)为开区间的原函数，也成立

推论2：f(x)连续,F(x)为开区间的原函数,且端点极限存在,原式等于端点极限相减

推论3：f(x)连续,F(x)在闭区间除去c点连续,且c两侧极限存在,原式分为两段计算

换元积分

分部积分

奇偶性和对称性

区间再现

变限积分

定理1：若f(x)可积，则变限积分连续

定理2：若f(x)连续，则其变限积分可导

求导运算

性质

不等式

函数大小=>积分大小

介值定理，介于最大和最小值与区间长度的乘积

绝对值不等式

积分中值定理(f(x)连续)

推广(g(x)不变号)

连续非负函数的积分性质

f(x)不恒为0，则积分大于0

若在任意子区间的积分为0，则函数恒为0

反常积分

无穷区间上的反常积分(f(x)区间上连续)

定义

无界函数的反常积分(瑕积分)

判定

比较判别法

比较法的极限形式

常用结论

应用

几何应用

面积

体积

旋转体体积

已知横截面的体积

弧长

旋转体侧面积

物理应用

功

压强

引力

质心 形心

常微分方程

概念

微分方程

微分方程的阶

微分方程的解

微分方程的通解(任意常数个数与阶数相同)

微分方程的特解(不含任意常数的解)

初始条件

积分曲线(方程的一个解在平面上对应的一条曲线)

一阶微分方程

可分离变量

齐次方程

一阶线性方程

可降阶的高阶方程

高阶线性微分方程

定理1 齐次方程两个线性无关的特解，可构成通解

定理2 特解+齐次方程通解=非齐次方程通解

定理3 非齐次方程特解之差为齐次方程的解

定理4 方程的加合=>特解的加合

常系数齐次线性微分方程

常系数非齐次线性微分方程

应用

由定积分的几何意义列方程

利用导数几何意义列方程

利用变化率满足的条件列方程

利用牛顿第二定律 李正元p.179

只依赖于v和t

只依赖于y和v

微元法或变限积分法

质点运动轨迹方程

多元函数微分

概念

重极限(任意方式趋近)

性质

局部有界性

保号性

有理运算

极限与无穷小关系

夹逼性

连续

性质

连续函数的和差积商即复合仍连续

基本初等函数在定义域内连续；初等函数在定义区域连续

闭区间连续函数的性质

有界性

最值性

介值性

推论

可取介于最大值最小值之间的任何值

偏导数

定义

几何意义

高阶偏导数

定理：如果两个混合偏导在区域D连续，在区域D恒有两者相等

全微分

定义

四个等价

可微性判定

必要条件：偏导存在

充分条件：偏导连续

充要条件：定义

计算

微分运算法则

复合函数求导

全导数

一阶全微分形式不变性

隐函数求导法(分母不为0)

隐函数存在定理 1.F(x,y)领域有连续偏导 2.该点函数值为0 3.分母偏导不为0

多元函数为常数的条件

两偏导为0

极值与最值

无条件极值

必要条件：偏导为0(驻点)

充分条件：AC-B方>0

定义判定

条件极值 拉格朗日乘数法

最值

边界+极值

二重积分

定义

几何意义

不等式性质

函数大小=>积分大小

介值定理，介于最大和最小值与区间长度的乘积

绝对值不等式

积分中值定理

计算

直角

极坐标

对称性和奇偶性

平移变换