函数与极限

这是一篇关于函数与极限的思维导图，包括函数的定义和基本性质、数列极限、函数极限、极限的运算法则、极限存在的条件等内容。

函数与极限

• 函数
  • 概念
  • 性质
    • 有界性
    • 周期性
    • 奇偶性
    • 单调性
  • 类型
    • 基本初等函数
      • 幂函数
      • 指数函数
      • 对数函数
      • 三角函数
      • 反三角函数
    • 复合函数
    • 隐函数
    • 反函数
    • 初等函数
• 极限
  • 极限的定义
    • 当x→∞时f(x)的极限
    • x→x0时f(x)的极限
    • 当x→x0时[(x)的左右极限
      • 右极限
      • 左极限
    • 正经定义
  • 数列的极限（定理）
    • 极限唯一性
      • 如果数列xn收敛，那么它的极限唯一
    • 收敛数列的保号性
      • 如果lim（n-∞）xn=a，且a>0或a< 0，那么存在正整数N，当n>N时，都有xn>0或xn<0
    • 收敛数列的有界性
      • 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界
    • 收敛数列与其子数列的关系
      • 如果数列xn收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a
  • 函数的极限（定理）
    • 函数极限的唯一性
    • 函数极限的局部有界性
    • 函数的局部保号性
  • 无穷大与无穷小
    • 定义
      • 无穷大
      • 无穷小
    • 性质
      • 有限个无穷小的代数和仍是无穷小
      • 有限个无穷小的乘积仍是无穷小
      • 无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小
    • 无穷小的比较
      • 定义
      • 等价无穷小替换（确定为两个无穷小之比时才能用）
    • 常用等价无穷小
  • 极限的四则运算
  • 极限存在的判定方法（两个重要极限）
    • 单调有界数列必有极限
    • 夹逼定理
• 函数的连续
  • 函数连续性的定义（两种及左右极限的定义）
  • 函数的间断点分类
    • 第一类
      • 可去间断点
        • 左右极限都存在
      • 跳跃间断点
    • 第二类
      • 除第一类外的间断点
      • 包含无穷间断点，振荡间断点
  • 闭区间上连续函数的运算性质
    • 一致连续性
    • 介值定理
    • 零点定理
  • 连续函数的运算与初等函数的连续性
    • 一切初等函数在其有定义的区间内都是连续的