线性代数

考研的人再不看就来不及啦！线性代数是逻辑性很强的一门学科，下图从行列式 、矩阵及其运算 、矩阵的初等变换与线性方程组、相似矩阵及二次型 、 向量组的线性相关性 等方面进行知识点的归纳与总结，十分详细全面，快收藏加关注不迷路哦！

线性代数

• 第一章 行列式
  • 第1节 n阶行列式
    • 数学概念
      • 逆序数
      • 奇排列与偶排列
      • n阶行列式
      • 转置行列式
    • 基本原理公式
      • 公式1
        • 主对角线
        • 主对角线
      • 公式2
        • 副对角线
        • 副对角线
      • 公式3
        • 分块矩阵的行列式
  • 第2节 行列式的性质
    • 基本性质
      • T 行列式与它的转置行列式相等。|A|=|A |
      • 互换行列式的两行(列)，行列式变号。
      • 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
      • 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
      • 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和
      • 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。
  • 第3节 行列式按行(列)展开
    • 数学概念
      • 余子式 Mij
      • 代数余子式Aij
      • 注意：Aij与aij数值大小没有关系
    • 原理，公式
      • 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
      • 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
      • 范德蒙德(Vandermonde)行列式
  • 第4节 克拉默法则
    • 数学概念
      • 非齐次线性方程组
      • 齐次线性方程组
    • 原理，公式和法则
      • 克拉默法则
      • 如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0，则(1)一定有解，且解是唯一的
      • 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
      • 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组(2)没有非零解。
      • 如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式必为零。
• 第二章 矩阵及其运算
  • 第一节 矩阵及其运算
    • 数学概念
      • mxn矩阵
    • 原理，公式和法则
      • 矩阵的加法
        • 公式
        • 运算律
      • 数乘矩阵
        • 公式
        • 运算律
      • 矩阵与矩阵相乘
        • 定义
        • 运算律(假设运算都是可行的)
        • 方阵运算
      • 矩阵的转置
      • 方阵的行列式
  • 第二节　逆矩阵
    • 数学概念
      • 逆矩阵
        • 可逆矩阵又称为非奇异矩阵。
        • 不可逆矩阵又称为奇异矩阵。
    • 原理，公式和法则
      • 方阵A可逆的充分必要条件
      • 运算律
  • 第三节　分块矩阵
    • 数学概念
      • 分块矩阵：用若干条横线和竖线将矩阵A分成若干小块，每一小块称为矩阵的子块，以子块为元素的矩阵为分块矩阵。
      • 分块方式
        • 一般分块
        • 按行分块
        • 按列分块
    • 原理，公式，法则
      • 分块矩阵的加法
      • 分块矩阵的数乘
      • 分块矩阵的乘法
      • 分块矩阵的转置
      • 分块对角矩阵
• 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
  • 第一节 矩阵的初等变换
    • 初等变换
      • 交换矩阵的两行或两列
      • 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k）
      • 把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为ri+krj)。
    • 等价
      • 若矩阵A经过有限次的初等变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B等价。
      • 等价关系具有的性质
        • 反身性
        • 对称性
        • 传递性
  • 第二节　矩阵的秩
    • 数学概念
      • 矩阵A的k阶子式
      • 矩阵A的秩
        • 零矩阵的秩为0
        • 可逆矩阵称为满秩矩阵
    • 原理公式和法则
      • 若A与B等价，则R(A)= R(B)
  • 第三节　线性方程组的解
    • 数学概念
      • n元齐次线性方程组
      • n元非齐次线性方程组
      • 称A为方程组的系数矩阵，B=(A，b)为非齐次线性方程组的增广矩阵。
    • 原理、公式和法则
      • n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件的系数矩阵A的秩R(A)<n。
      • n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件的系数矩阵A的秩等于增广矩阵B=(A，b)的秩。
  • 第四节 初等方阵
    • 数学概念
      • 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵。
        • 对调单位矩阵的两行(列)，得E[i，j];
        • 以不为零的数k乘某行或某列，得E[i(k)] ;
        • 以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去，得E[i，j(k)].
        • 初等方阵均为可逆的方阵，其逆仍是同种的初等方阵。
    • 原理公式和法则
      • 设A是一个mxn 矩阵对A施行一次初等行变换，相当于在A是左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A右边乘以相应的n阶初等方阵。
      • 分支主题
      • 求逆公式
• 第五章 相似矩阵及二次型
  • 第一节 向量的内积
    • 数学概念
      • 内积
      • 范数
      • 单位向量
      • 正交向量组
      • 标准正交基
      • 正交矩阵
      • 正交变换
    • 原理，公式和法则
      • 施密特标准正交化
  • 第二节 方阵的特征值与特征向量
    • 数学概念
      • 特征值与特征向量
      • 特征多项式
      • 特征方程
    • 原理，公式和法则
      • 求特征值与特征向量的方法
        • (主要用于求特征向量)
        • (实用于具体矩阵)
        • (实用于抽象矩阵)
      • 主义特征值与 二次型的结合与转化
      • 主要公式
        • 分支主题
      • 特征值与特征向量的性质
        • A可逆的充分必要条件是A没有零特征值。
        • A不可逆的充分必要条件是A有零特征值。
        • 方阵A不同的特征值对应的特征值是线性无关的。
  • 第三节 相似矩阵
    • 数学概念
      • 相似矩阵
      • 相似变换
    • 原理，公式和法则
      • 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
      • 若A相似于对角矩阵L，则L主对线上元素是A的n个特征值。
      • n阶方阵A能与对角矩阵L相似的充分必要条件是：A有n个线性无关的特征向量。
      • 若n阶方阵A的n个特征值各不相同，则A与对角阵L相似。
      • 实对称矩阵的特征值为实数。
      • 实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量是正交的。
  • 第四节 二次型及其标准形
    • 数学概念
      • 二次型
      • 二次型的矩阵形式
      • 二次型的秩
      • 二次型的标准形
    • 原理，公式和法则
      • 设可逆的线性变换x=Cy，将f化成标准形
      • 任给可逆矩阵C，令B=C（T）AC，如果A为对称矩阵,则B也为对称矩阵，且R(B)=R(A)。
      • 分支主题
  • 第五节 配平方法与合同变换法
    • 数学概念
      • 合同
    • 原理，公式和法则
      • 若A合同B，则R(A)=R(B)；
      • 任何一个对称矩阵均可合同于一个对角矩阵
      • 分支主题
  • 第六节 正定二次型
    • 数学概念
      • 正定二次型
    • 原理，公式和法则
      • 惯性定律
      • 正定二次型的判定
        • 充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正。
      • 正定矩阵的判定
        • 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
        • 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺次主子式都为正。
• 第四章 向量组的线性相关性
  • 第一节 向量组的线性相关性
    • 数学概念
      • n维向量
      • 线性组合的系数
      • 向量β是向量组A的线性组合
      • 线性相关与线性无关
      • 向量组等价
    • 原理，公式和法则
      • 判定向量组线性相关性的基本原理
      • 向量线性相关性的判定
      • 若向量组a1、a2 ...am 线性无关，而a1、a2 ... am ,β线性相关，则β能由a1、a2... am线性表示，且表示法是唯一的。
      • 判定向量组线性相关性的方法
        • ①定义法
        • ②反证法
        • ③判定法
        • ④计算法
  • 第二节 向量组的秩
    • 数学概念
      • 最大无关组
      • 向量组的秩
    • 原理，公式与法则
      • R(A)=A的行秩=A的列秩
      • 向量组A与其最大无关组 A0 等价。
      • 设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩。
  • 第三节 向量空间
    • 数学概念
      • 向量空间
      • 子空间
      • 基
      • r维向量空间
    • 原理，公式和法则
      • 等价的向量组所生成的向量空间相等
      • 把向量空间看作向量组，向量空间的基就是向量组的极大无关组，向量空间的维数就是向量组的秩。
  • 第四节 线性方程组解的结构
    • 数学概念
      • 齐次线性方程组Ax=0
      • 非齐次线性方程组Ax=b （b ≠ 0）
      • 齐次线性方程组的基础解系
      • 齐次线性方程组Ax=0的通解
      • 非齐次线性方程组Ax=b的通解
    • 原理，公式和法则
      • n个未知数的齐次方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n。
      • n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B的秩。且当R(A)=R(B)=n时，方程组有唯一解，当R(A)=R(B)=r<n时方程组有无穷多个解。
      • 分支主题
      • n元齐次线性方程组Ax=0 的全体解所构成的集合S的一个向量空间，当系数矩阵的秩R(A)=r时，解空间是n-r维的。