导图社区 线性代数思维导图
线性代数超级总结，非常适合整体角度来复习！下图内容涵盖了线性代数中的向量、矩阵A、（方阵）特征值=矩阵:向量、行列式D、初等变换、线性方程组、二次型。
社区模板帮助中心，点此进入>>
英语词性
法理
刑法总则
【华政插班生】文学常识-先秦
【华政插班生】文学常识-秦汉
文学常识：魏晋南北朝
【华政插班生】文学常识-隋唐五代
【华政插班生】文学常识-两宋
民法分论
日语高考動詞の活用
线性代数
1. 向量
向量：是一个数组
n维向量有n个分量
向量组：n个同维数的列(行)向量组成的集合
n维向量空间：n维向量的全体组成的集合
“空间”：点的集合=“点空间”
“点”P(x,y,z)与“向量”r=(x,y,z)T一一对应
运算规则相同
行/列向量=行/列矩阵
向量b=k1α1+k2α2+...+kmαm
向量b是向量组A的
线性组合
对于向量组A:α1,α2,...,αm，作系数k1α1+k2α2+...+kmαm
线性表示
向量b能由向量组A
方程组x1α1+x2α2+...+xmαm=b有解
有解充要条件：R(A)=R(A,b)
向量组B和向量组A
向量组B:b1,b2,...bl能由向量组A:a1,a2,...,am表示
向量组等价：A与B能相互线性表示
系数矩阵
Cm*n=Am*sBs*n
C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为这表示的系数矩阵
C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为这表示的系数矩阵
相关无关
向量
内积[x,y]=x1y1+x2y2+...+xnyn
[x,y]=xTy
[x,y]=[y,x]
[λx,y]=λ[x,y]
[x+y,z]=[x,z]+[y,z]
当x=0时，[x,x]=0；当x≠0时,[x,x]>0
施瓦茨不等式：[x,y]2≤[x,x][y,y]
数量积
长度（范数）：||x||=根号[x,x]
单位向量：||x||=1
单位化：x=a/||a||
夹角=arccos([x,y] / ||x||||y||)
基
正交[x,y]=0
向量正交→线性无关：若n维非零向量a1,a2,...ar两两正交，则它们线性无关
正交向量组：一组两两正交的非零向量
标准正交基：n维向量的一个基两两正交
标准正交化
找一组两两正交的单位向量，使其与该基“等价“
施密特正交化
从线性无关向量组导出正交向量组的过程
2. 矩阵A
行列矩阵=行列向量
矩阵同型
行数列数都相等
矩阵相等
对应元素也相等
运算
线性运算
加法：矩阵加矩阵C=A+B
同型矩阵才能加
cij=aij+bij
规律
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)
负矩阵-A
A+(-A)=O
A-B=A+(-B)
数乘λA
乘λλ乘所有元
(λμ)A=λ(μA)
(λ+μ)A=λA+μA
λ(A+B)=λA+λB
乘法：矩阵乘矩阵C=AB
m*s 乘 s*n 得 m*n
“复”变换
先作线性变换B
再作线性变换A
A左乘B：B被A左乘
cij = ai1b1j +...+ aisbsj
A的第i行*B的第j列
AB≠BA
没有交换律
如果AB=BA
可交换的
(λEn)An=λAn=An(λEn)
λE与任何同阶方阵都是可交换
必然是方阵
和O的关系
AB=O，也不能得出A≠O或B≠O
A≠O，A(X-Y)=O，也不能得出X=Y
结合律
(AB)C=A(BC)
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
分配律
A(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA
幂A...A
只有方阵才有幂
AkAl=A(k+l)
(Ak)l=Akl
A的0次方=E
A的k次幂和l次幂是可交换的
AkAl=AlAk
矩阵的n次方
矩阵的m次多项式
φ(A)=a0E+a1A+...+amAm次幂
相乘，因式分解
和对角矩阵的关系
转置AT
行换成同序数
(AT)T=A
(A+B)T=AT+BT
(λA)T=λAT
(AB)T=BTAT
伴随矩阵A*
各元素代数余子式构成
a的ij和A*的ij“转置”
aij对A*ji
AA*=A*A=|A|E
bij=ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn，i=j时为|A|，i≠j时为0
逆矩阵A-1，AB=BA=E
必然可交换
逆矩阵唯一
唯一性证明法
若有两个，则...，得到两者相同
可逆矩阵叫奇异矩阵
行列式不为0则可逆
A逆=A*/|A|
逆矩阵求法1
A(A*/|A|)=E
两边各除以|A|
可逆行列式不为0
AA逆=E，得|AA逆|=|A|*|A逆|=|E|=1，所以|A|≠0
(A逆)逆=A
(AB)逆=B逆A逆
(λA)逆=1/λ*A逆
A的k次逆=A逆的k次方
克拉默矩阵Aj
第j列用常数项矩阵b代替得到
求解的克拉默法则中使用x1=|A1|/|A|
转化
矩阵分块(为方便运算)
子块
分块矩阵：以子块为元素的“形式上的”矩阵
找E或O子块
运算规律和普通矩阵类似
A+B
λA
AB
AT=
分块对角矩阵
只有对角线上有分块矩阵
其它都是0
子块Ai都是方阵
|A|=|A1||A2|..|An|
A逆=A(1~n)逆
行阶梯形（为方便得秩）
行阶梯，行变换
行到列，竖到横；左下0，首非0。
列它0，最简行；行阶简，总能行。
标准行，列变换；左上单，其全0。
值
（方阵）行列式detA或|A|
只有方阵才有行列式
不是方阵没有行列式
行列式：“n阶”行列式
|AT|=|A|
|λA|=λn幂|A|
|AB|=|A||B|
秩R(A)
::最高阶非零子式的阶数
::行阶梯矩阵的非零行数
求秩阵转行阶梯 最高非零阶为秩可逆满秩不降秩矩阵等价秩相同
非零行列式？
满秩矩阵：当|A|≠0，得方阵A可逆，且R(A)=n
降秩矩阵：当|A|=0，R(A)<n
列满秩矩阵：秩=列数
当A为列满秩矩阵，若AB=O，则B=O
若Am*nBn*l=O，则R(A)+R(B) ≤ n
R(A+B) ≤ R(A)+R(B)
max{ R(A),R(B) } ≤ R(A,B) ≤ R(A)+R(B)
R(AB) ≤ min {R(A),R(B)}
设AB=C，则R(C)≤min{R(A),R(B)}
0≤R(A)≤min(m,n)
R(AT)=R(A)
如何求秩
特殊矩阵
零矩阵O
元素都是零
不同型的零矩阵不相等
对角矩阵A=diag(λ)
对角线以外全是0
方阵才有对角线
对角矩阵的幂
也是对角矩阵
单位矩阵E
对角线上全是1
在矩阵乘法中作用类似1
EA=A=AE
EmAm*n=Am*n，Am*nEn=Am*n
这种“线性变换叫”
恒等变换
纯量阵λE
对称阵AT=A
aij=aji
元素以对角线为对称轴对应相等
爪形矩阵
相似矩阵
n阶矩阵A，B。可逆矩阵P。P逆AP=B：B是A的相似矩阵；A与B相似；P相似变换矩阵。
能得出特征多项式/特征值的什么结论
若相似，则特征多项式/特征值相同
正交矩阵ATA=E（即A逆=AT）
充要条件：A的列向量都是单位向量，且两两正交
正交变换
即线性变换y=Px，当P为正交矩阵
正交变换线段长度不变
||y||=根号yTy=根号xTPTPx=根号xTx=||x||
3. （方阵）特征值=矩阵:向量
应用领域
工程技术中的振动和稳定性问题→求一个方阵的特征值和特征向量的问题
方阵的对角化
解微分方程组
关系式
Ax=λx
特征值
λ
特征向量
x：A的对应于值λ的特征向量：n维非零列向量
特征方程
(A-λE)x=0以λ为未知数de
有非零解的充要条件
系数行列式|A-λE|=0
特征多项式|A-λE|
特征方程的解是什么
即特征值
一定有解吗
在复数范围内，恒有解
有多少个解
方程的次数
n阶矩阵A有n个特征值
求特征值有哪些方法
转化为对角矩阵
把矩阵对角化
对角矩阵的特征值有什么特点
对角线上的值即特征值
如何对角化
求相似变换矩阵P
一定能对角化吗
充要：有n个“线性无关“的特征向量。充分：有n个”互不相等“的特征值。
4. 行列式D
行列式det D
不同行列和乘积
列排逆序单项符
对角法只二三阶
转置乘和值不变
乘kk乘行列元
两行互换值变号
等比全0值全0
行列元余乘加展
i行它0元乘代
行列与它乘和0
ai1Aj1+ai2Aj2+...+AinAjn=0
a1iA1j+a2iA2j+...+aniAnj=0
D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+AinAin
D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj
特殊行列式
三角行列式
左高右低主对角
n乘减1的一半
性质转换总三角
范德蒙德
余子式Mij，代数余子式Aij
1行列去得余子
行列标加代正负
k阶子式：矩阵A中任取k行k列得到的k阶行列式
观察行阶梯形矩阵的子式
若A~行B，则A和B中非零子式的最高阶数相等
非零子式
子式是个行列式，等于一个数值
非零：该数值不等于0
但是，不关心式值本身，而关心非零行的数目
那么，是不是所有等于0的行列式，都可以变化为某行全为0的行列式
5. 初等变换
消元法解方程组
方程组的同解变换→矩阵B的初等变换
自由未知数
回代
通解
抽象出变换方法
对换两行/列
k乘所有元/列
k乘加
用矩阵的初等变换解方程组
由“行最简形”即可写出方程组的解
把增广矩阵转化为行最简行矩阵
初等变A可到B，矩阵等价A~B；
单阵初变得初阵，初等变等初阵乘。行变左乘列变右，可逆阵乘等价明。
等价充要PAQ=B
行等价 PA=B
如何求该可逆矩阵P
对矩阵(A,E)作初等行变换：(A,E)~(B,P)
当A变为B，则E变为P
列等价 AQ=B
（方阵）可逆充要
存在几个初等矩阵，使A=P1P2...Pn
A~(行) E
不改变秩的大小
若A~B，则R(A)=R(B)
若可逆矩阵P、Q使PAQ=B，则R(A)=R(B)
若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)
什么时候使用
解方程组
求逆矩阵
讨论矩阵理论
用初等变换讨论秩的属性
6. 线性方程组
方程组有解=方程组相容
齐次
全为0
非齐次
不全为0
总有零解
x=0
求解
用什么方法讨论
利用矩阵的秩讨论
充要条件
证明有解
无解
R(A)<R(A,b)
证明唯一解
唯一解
R(A)=R(A,b)=n
求多解
无限多解
R(A)=R(A,b)<n
线性方程组Ax=b有解的充要条件：R(A)=R(A,b)
矩形方程AX=B有解的充要条件：R(A)=R(A,B)
齐次线性方程组Ax=0有非零解充要条件：R(A)<n
求解过程
1. 对增广矩阵作初等变换，变为行阶梯形矩阵
线性变换
从变量x到变量y的线性变换
y=Ax
和矩阵一一对应
研究线性变换=研究矩阵
线性方程组中抽出矩阵
系数矩阵Am*n
未知数矩阵Xn*1
常数项矩阵bm*1
增广矩阵B=(A,b)
线性方程组的矩阵形式Am*nXn*1=bm*1
以x为未知元的向量方程：Ax=b
∵逆矩阵唯一性
如果|A|≠0，则X有唯一解
x1=|A1|/|A|
克拉默法则求解向量
使用情形
方程个数=未知数个数
系数行列式≠0
xn=|An|/|A|
Aj
A中第j列用b代替
xj=1/|A| (b1A1j+b2A2j+...+bnAnj)
x=A逆b
逆矩阵方法求解向量
解集S
基础解系：解集的最大无关组
由基础解系可得通解
Ax=0的解集S的秩R(S)=n-R(Am*n)
7. 二次型
