统计量及其分布

数理统计之统计量及其分布笔记，包括统计量的定义、标本、统计量常用性质、统计量的分布、正态总体下的常用理论等内容。

统计量及其分布

• 统计量
  • 定义
    • g(X1,X2,...,Xn)是统计量Û不含未知参数
      • 书523 2
  • 样本均值
    • `X=(1/n)SXi
  • 样本方差
    • S²=1/(n-1) S(Xi-`X)² = 1/(n-1)(SXi²-n`X²)
      • 习50 5、7？ E和S的运算顺序； 千 148 7
    • 1/(n-1) 是只与 `X一起出现的，若是m则用 1/n
  • 样本标准差
    • S=Ö1/(n-1) S(Xi-`X)²
  • 样本k阶原点矩
    • Ak=(1/n)S(Xi^k)
  • 样本k阶中心矩
    • Bk=(1/n)S(Xi-`X)^k
  • 顺序统计量
    • X(1)=min{X1,X2,...,Xn}
      • 概127 14（全集分解）背！！
        • P{B}=P{AÈ`A,B}=P{A,B}+P{A,B}
    • X(n)=max{X1,X2,...,Xn}
• 统计量常用性质
  • EXi=m
  • DXi=s²
  • E`X=EX=m
    • 概126 1
  • D`X=DX/n=s²/n
    • 千155 2
  • E(S²)=s²
    • 会推 概123 1，书523 (2)
  • `X与S²相互独立
    • 千155 1
• 统计量的分布
  • 标准正态分布
    • 上a分位点：P{X>ma}=a，P{X<ma}=1-a
      • m常用Z代替，只关注脚标，若脚标是a，意味着Za点右侧的面积是a
        • 千162 21
    • Y=SXi，欲算Y~N(a,b)，算EY，DY即可
      • 概127 10
    • 易错：标准化时除以s，而非s²（若题目给出N(0,n)，要能反应过来）
  • x²分布
    • Xi独立同分布~N(0,1) ，X=SXi²~x²(n)，Xi~x²(1)
      • 书523 3，配方变化凑aXi+bXj~N(0,1)概124 3
    • 性质
      • EX=n,DX=2n
      • 相互独立时可加，X1+X2~x²(n1+n2)
        • 概126 8
      • 上a分位数，n是自由度
        • 千161 9
  • t分布
    • 独立，X~N(0,1)，Y~x²(n) ， 则t=X/[Ö(y/n)]~t(n)
      • 书523 4,题型：各自修炼，顶峰相见 概125 4,5
    • 性质
      • T1-a (n)=-Ta(n)，常用来求未列出的上a分位数
      • Et=0，概率密度关于y轴对称
  • F分布
    • 独立，X~x²(n1),Y~x²(n2)，则F=(X/n1)/(Y/n2)~F(n1,n2)
      • • 书523 5
    • 性质
      • 1/F ~F(n2,n1)
        • 千157 14
      • F1-a (n1,n2)=1/[Fa(n2,n1)]，常用来求未列出的上a分位数
        • 概127 113（证明颠鸾倒凤）
  • 注意
    • 证明时，不要忽略证明相互独立；且若未说明独立，可排除选项中的t和F
      • 概127 10,千156 7
• 正态总体下的常用结论
  • 及其陌生！！！ 很常用
  • 1||| `X~N(m,s²/n)，`X标准化Ön (`X-m)/s~N(0,1)
    • 书529 1 书528 13
  • 2||| (1/s²)S(Xi-m)²~x²(n)
    • (Xi-m)/s ~N(0,1)
    • 概125 4， 千155 6,9,13
  • 3||| (n-1)S²/s²=S[(Xi-`X)/s]²~x²(n-1)
    • m未知，在②中用`X代替m
    • 书530 4，习50 4，概126 3，习52 18，概148 9
  • 4||| Ön (`X-m)/S~t(n-1)，n (`X-m)²/S²~F(1,n-1)
    • s未知，在①中用S代替s
    • 习52 18,概144 底

参数估计与假设检验

• 1000讲B 中：题目大部分是点估计结合统计量，且大题全是点估计，没有区间估计
• 点估计与评价
  • easy game，不用常复习
  • 概念
    • 分布函数为F(x;q)，X1,X2,..Xn是取自总体X的一个样本，故`X和SXi是已知条件，用其来表示q——估计
  • 矩估计
    • 一个参数
      • 一阶矩 EX=`X
      • 当一阶不能用（如EX=0、一阶难算），用二阶矩 (1/n)S(Xi^2)=E(X^2)
        • 概136 3(1)，千160 4，千165 8(一二阶联立)
    • 两个参数
      • 用一阶矩和二阶矩建两个方程
        • 概136 4，千163 32
  • 最大似然估计法
    • 1||| 求似然函数L(q)
      • 把所有概率/概率密度连乘起来
      • 连乘时把含参和不含参的式子隔离，连乘非常易错不许跳步！
        • 概135 1
      • 离散型——等可能分布/用观测值的次数
        • 概136 2,3，13，千162 14，千162 14，千164 2，千166 11-13
      • 公式
        • 千160 2
      • 估s²时应将其整体换元为t
        • 千163 27
    • 2||| 取对数，求导dlnL(q)/dq，令=0
      • 二阶则分别求两次偏导
    • 3||| 当L(q)为q的单调增（减）函数时，q帽=q取值的上限（下限）；当L是常数时，q帽不唯一
      • 1、单调时q常取X(1),X(n) 2、注意题目q的范围，如0<q<1/2
      • 概137 5，6
    • 4||| 不变性原则
      • 若u=u(q)是具有单值的反函数，则u帽=u(q帽)是其最大似然估计
  • 估计量的评价
    • 无偏性
      • E(q帽)=q
        • 概140 8
      • 若不是无偏估计，可将其修正 概154
    • 有效性（最小方差性）
      • 前提E(qi帽)=q，则D(qi帽)越小越有效
        • 概140 8，概148 9
    • 一致性（相合性）
      • q帽（p）®q
        • 书526 11、530 7
      • 切比雪夫不等式——0£P{|X-EX|³e}£DX/e²，等式两边同时取n极限可得：limP{|X-EX|³e}
        • 概141 9
      • 辛钦大数定律——已知`X依概率收敛于EX，故q帽=a`X依概率收敛于aEX
        • 概152 底，千163 28
• 区间估计与评价
  • 掌握的极差，必须常结合习题复习
  • 概142 概念
    • 显著性水平a，置信度/置信水平1-a，置信区间(q1,q2)
      • 概148 11
    • 等尾置信区间P{q<q1}=P{q>q2}=1/2
    • a与置信区间长度的关系：用上分位数 1-a/2-a/2=1-a
      • 概145 11
    • 上a分位点：P{X>ma}=a，P{X<ma}=1-a
      • m常用Z代替，只关注脚标，若脚标是a，意味着Za点右侧的面积是a
        • 千162 21
  • 区间估计
    • s²已知，估m (`X-D,`X+D)
      • D=s/Ön*Za/2
        • 概144 10（推公式+使用）
    • s²未知，估m
      • D=S/Ön*Ta/2 (n-1)
        • 概144 10（推公式+使用），千165 5（置信区间的形式），千161 9
    • 上述叫置信区间，若问单侧置信限，则将a/2改为a
    • 可由y的置信区间，推f(y)（若单调）的置信区间
      • 概148 10（完整），千166 17
  • 假设检验
    • 较陌生，但找规律很好记： 若备择假设H1：u≠u0，则双侧 用a/2 若备择假设H1：u>u0，则单侧 用a H0必须带等号，且H0与H1地位无差别 s²已知，用Z；s²未知，用T(n-1) 除了开口朝外，算法与区间估计一致 结论：若X拔落入拒绝域，则否定H0，接受H1
    • 正态总体下的六大检验及拒绝域
      • 概143
    • 简单假设——该假设成立，则总体分布完全确定
      • 概148 12（1）
    • 做出假设；得结论
      • 千161 10，千164 4，千166 20，
  • 两类错误
    • 第一类错误-弃真
      • 犯第一类错误的概率a（即显著性水平）=P{弃|真}=P{拒绝H0（落入拒绝域）|H0为真}
        • 概146 13
      • a越小，否定H0的概率越小，接受H0的概率越大
        • 概146 14
    • 第二类错误-存伪
      • 犯第二类错误的概率b=P{存|伪}=P{接受H0|H0为假}
        • 概148 12（2）
• 注
  • 极易与MAX/MIN结合
    • 概148 2,7(2)
  • 单正态总体情况下，计算参数的置信区间常用3个抽样函数，其中2个用来确定m
    • 千161 8
  • 事件符号化
    • 千166 12、13