高数第二章一元微分知识梳理

一元微分知识梳理来啦！下图是与高数第二章一元微分知识相关的内容，作者按照导数的定义、导数的计算、导数的几何应用等进行梳理。另外，公式内容为图片格式，小伙伴们进行缩放时请注意哦！

一元函数微分学

• 1. 导数定义
  • 抽象函数
    • 泛指点x
    • 特指点x0
  • 分段函数（包含绝对值函数）
  • 函数四则运算
• 2. 导数计算
  • 基本求导公式表
  • 符号的写法
  • 复合函数、隐函数、分段函数（含绝对值）、反函数、多项式乘除开方乘方（对数求导）
  • 高阶函数求导
    • 归纳法
    • 莱布尼茨公式
    • 10个泰勒展开式
• 3. 导数的几何应用
  • 研究对象
    • 1. 祖孙三代
      • 原型
        • 微分
        • 积分
        • 展开式
    • 2. 分段函数（含绝对值）
    • 3. 参数方程
    • 4. 隐函数
  • 研究内容
    • 1. 切线、法线、截距
    • 2. 单调性、极值
    • 3. 拐点、凹凸
    • 4. 渐近线
    • 5. 最值
    • 6. 曲率
    • 7. 相关变化率
• 4. 导数证明性应用（一） ——中值定理
  • 确定区间
    • 在数轴上标出所有可能的点以及对应的函数值，从而确定区间
  • 确定辅助函数
    • 就是所讨论的函数f(x)本身
    • 公式运用（肯定不复杂）
      • 乘积求导公式的逆用
      • 商的求导公式逆用
    • 题干有提示
  • 确定所用定理
    • 介值定理
    • 费马定理
    • 罗尔
    • 拉格朗日
      • 形式
      • 题型
        • 题目中有原函数与其导数的关系
        • 研究单调性
    • 泰勒
      • 形式
        • • 考题必然会在函数表达式或展开项式上做手脚
      • 题型
        • 研究凹凸性
    • 柯西
      • 形式
        • • 柯西由于表达式辨识度高，近20年考常考； 考题一定会用变形的方法“隐藏”表达式
      • 题型
        • 一个具体函数，一个抽象函数
        • 双中值，常与拉氏结合
  • 确定点的信息
    • 用题设告知的信息
    • 用“连续”和“极限”
      • 保号（不等式脱帽）
      • 等式两边取极限
    • 用积分
      • 等式两边取积分
    • 用介值定理
    • 用费马
    • 用奇偶性
      • 等
    • 用几何条件
      • 存在相等的最大值
    • 用行列式
      • 利用行列式的运算特点从题设行列式中得到点的信息
  • 杂项
    • 双中值
    • 反解中值，一般以比例形式出现
    • 变体，一般为θ(x)的极限
• 5. 导数的证明性应用（二） ——不等式问题
  • 建立不等式
    • 常规：作和差
    • 特殊（少见）：作积商
  • 解析不等式
    • 用单调性
    • 用最值
    • 用凹凸性
      • • 普遍性推广
    • 用中值定理
• 6. 导数的证明性应用（三） ——等式（方程的根、零点、交点）
  • 证恒等式
  • 根的个数
    • 至少n个
    • 至多n个
    • 恰好n个
  • 方程列
  • 区间列