导图社区 线性代数
线性代数思维导图，包括行列式的概念、性质和计算，矩阵的概念、运算，线性方程组的解，向量的概念、线性相关等内容。
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线性代数
1. 行列式
概念
不同行不同列元素乘积的代数和
n阶行列式
区别：行列式是数，矩阵是一个表格
性质
转置，值不变
两行（列）互换，变号
两行（列）相同，值为0
某一行（列）元素如有公因子k可以提到行列式符号的外边。或者说，用一个数k来乘行列式，可以把这个数乘到行列式的某一行（列）上。
若有一行（列）元素全为零，则值为零。
若有两行（列）的元素对应成比例，则值为零。
若某行（列）元素是两数之和，则可以拆成两个行列式之和
如果有两行（列），需要拆成四个
如果有三行（列），需要拆成八个
一般
把某行（列）的k倍加到另一行（列），值不变
计算
二、三阶行列式
对角线法则
四阶及以上
完全展开式
逆序数
正负由逆序数决定，不同行和列的乘积和……,一般不常用，使用按行（列）展开公式
按行（列）展开公式
余子式
代数余子式
定理
n阶行列式等于它的任何一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和
行列式的任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为0
几个特殊情况
上（下）三角形行列式
副对角线的行列式
范德蒙行列式
克拉默法则
非齐次方程组
系数行列式
，无解或无穷多解
可以和矩阵秩联系起来
齐次方程组
2. 矩阵
m*n的表格
几个特殊矩阵
零矩阵O（不是行列式为0的矩阵）
单位阵E
主对角线元素为1，其余为0
数量阵
kE
对角阵
非对角元素都是0
上(下)三角阵
对称阵
反对称阵
运算
加法
交换律
结合律
数乘
分配率
乘法
先行后列，两两相乘
AB≠BA
特殊1:EA=AE=A
特殊2:AB=BA=E(A,B均为n阶矩阵)
特殊3:AA*=A*A=|A|E
对角矩阵
分配律
转置
公式
规律
若a，b为列向量，即n*1的矩阵
伴随矩阵
各元素代数余子式的转置,注意代数余子式的正负
几个公式
逆矩阵
以下A、B均为n阶矩阵，可逆矩阵必须是n阶
AB=BA=E,称A为可逆矩阵或非奇异矩阵
若A可逆，则逆矩阵唯一
A可逆的充要条件|A|≠0
AB=E,则BA=E
n阶矩阵可逆的充要条件
AB=E,或BA=E
|A|≠0
r(A)=n
A的列（行）向量线性无关
Ax=0,只有零解
Ax=b,总有唯一解
矩阵A的特征值全不为0
运算性质
求逆矩阵的方法
公式法
初等变换法
定义法 AB=E或BA=E,直接得出
分块矩阵法
初等矩阵
初等变换
倍乘
互换,这里的变换不需要变号，与行列式性质区分
倍加
初等矩阵：单位矩阵经一次初等变换的到的矩阵
等价矩阵：矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则A与B等价，记作

初等矩阵的逆
倍乘，倍乘数改为倒数
互换，不变
倍加，倍加得到的数改为相反数
初等矩阵的转置仍是初等矩阵
初等矩阵均是可逆矩阵，其逆矩阵仍然是初等矩阵
初等矩阵P左(右)乘A,其结果PA(AP),相当于对A作相应的初等行(列)变换
矩阵A可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积
行最简矩阵
行阶梯矩阵
1.如果有零行，则在矩阵最底部
2.每个非零行的主元(即该行最左边的第一个非零元)下面都是0
1.是行阶梯矩阵
2.非零行的主元都是1,且主元所在的列的其他元素都是0
分块矩阵
三种分法
按行
按列
向量，线性表示，秩，方程组通解
可加
可乘
n次方
可逆
方阵的行列式
转置,值不变
注意
行列式乘法公式
伴随矩阵公式
可逆矩阵公式
分块矩阵公式
注意点
3. 向量
分量
内积，见下
向量组
部分组，整体组
延伸组，缩短组
线性相关
线性组合
线性表出
线性无关
对任意不全为零的数
当且仅当
不存在不全为零的数
证明题
单个向量是非零向量时，是线性无关的
两个向量不成比例时，是线性无关的
常用判断
定理和推论
定理一
定理二
推论
推论1
推论2 任何n+1个n维向量必线性相关
推论3 向量组部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关；反之，两者均不成立
推论4 向量组线性无关，则延伸组无关；延伸组相关，则缩短组相关；反之，两者均不成立
定理三向量组线性相关充要条件至少有一个向量可以由其余向量线性表示出
定理四
定理五
秩
向量组的秩
极大线性无关组
不唯一，但向量的个数一样
只有一个零向量组成的向量组没有极大线性无关组
一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组本省
向量组的极大线性无关组的向量个数，就是向量组的秩，记作r(……)
等价向量组
向量组和它的极大线性无关组是等价向量
一个向量组中各极大无关组之间是等价向量组，且向量个数相同
定理：如果向量组(1)可由向量组(2)线性表出，则r(1)≤r(2)
推论：如果向量组(1)和(2)等价，则r(1)=r(2)
求解方法
做初等行变换
矩阵的秩
k阶子式
定义
矩阵A中存在r阶子式不等于零，r阶以上子式均等于零，则称A的秩为r，记作r(A)
r(A)=r充要条件A中非零子式的最高阶数是r
r(A)＜r充要条件A中每个r阶子式全为0
r(A)≥r充要条件A中有r阶子式不为0
零矩阵的秩规定为0
r(A)=0 充要条件A=0
A≠0 充要条件 r(A)≥1
若A是m*n矩阵，则r(A)≤min(m,n)
知识联系,若A是n阶矩阵
r(A)=n 充要条件 |A|≠0 充要条件A可逆
r(A)＜n 充要条件 |A|=0 充要条件A不可逆
注意r(A+B)≤r(A)+r(B)
注意r(AB)≤min(r(A),r(B))
注意max(r(A),r(B))≤r(A,B)≤r(A)+r(B)
注意若A可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)
注意若A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则r(A)+r(B)≤n
注意分块矩阵
经过初等变换矩阵的秩不变
三秩相等：r(A)=r(A的行秩)=r(A的列秩)
求解秩
4. 线性方程组
齐次线性方程组 系数矩阵A
必有零解
非零解
有非零解
基础解系
是齐次方程组Ax=0的解，而且满足
（1）
（2）Ax=0的任一个解
解的性质
形式
方程有非零解 充要条件 r(A)＜n
系数矩阵A为m×n，m＜n时，Ax=0必有非零解
系数矩阵A为m×n，m=n时，Ax=0有非零解 充要条件 |A|=0
r(A)＜n
有 n-r 个线性无关解，即方程组任一个解都可以由这 n-r 个解向量表示，即基础解系有n-r个向量
无非零解
m=n,r(A)＜n(即|A|=0或A不可逆)
m<n,必有非零解
解题
1.对系数矩阵做初等行变换
2.得到同解方程组
3.得到基础解系
0 1法
t u法
非齐次线性方程组 增广矩阵
1.ξ₁、ξ₂是方程组Ax=b的两个解，则ξ₁-ξ₂是导出组Ax=0的解
2.ξ是方程组Ax=b的解，η是导出组Ax=0的解，ξ+kη是方程组Ax=b的通解
有、无解
Ax=b有解
Ax=b无解
解的结构
α是Ax=b的解，η₁,η₂,……是导出组Ax=0的基础解系，则方程组Ax=b的通解为
公共解，同解
方程组的应用
