高等代数多项式

高等代数多项式全面的知识点总结，包括数域、一元多项式、整除、最大公因式、因式分解定理、重因式、多项式函数等内容。

多项式

• 数域
  • • 定义1： 设P是由一些复数组成的集合,其中包括0与1. 如果P中任意两个数(这两个数也可以相同)的和差、积、商(除数不为零)仍然是P中的数,那么P就称为一个数域。
  • • 重点： 全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，这三个数域我们分别用字母Q、R、C来代表. 如果数的集合P中任意两个数作某一运算的结果都仍在P中,我们就说数集P对这个运算是封闭的。因此,数域的定义也可以说成,如果一个包含0,1在内的数集P对于加法、减法、乘法与除法(除数不为0)是封闭的,那么P就称为一个数域。 所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。
• 一元多项式
  • • 定义2： 设n是一非负整数形式表达式
  • 注意： 区分零多项式和零次多项式。 数域P上的两个多项式经过加、减、乘等运算后,所得结果仍然是数域P上的多项式，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积。且有： 多项式相加
  • 定义2： 设n是一非负整数形式表达式
    • 和数的运算一样,多项式的运算也满足下面的一些规律：
• 整除
  • 注意：接下来的讨论都在某一固定的数域p上的多项式环P[x]中进行的。
• 最大公因式
  • • 定义6： 设f(x), g(x)是P[x]中两个多项式. P[x]中多项式d(x)称为f(x), g(x)的一个最大公因式, 如果它满足下面两个条件： 1) d(x)是f(x), g(x)的公因式 2)f(x), g(x)的公因式全是d(x)的因式 **注意：**对于任意多项式f(x), f(x)就是f(x)与0的一个最大公因式特别地, 根据定义, 两个零多项式的最大公因式就是0。
  • • 定义7：P[x]中两个多项式f(x), g(x)称为互素(也称互质)的, 如果(f(x),g(x))=1。 定理3： P[x]中两个多项式f(x), g(x)互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u(x), v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1. 定理4: 如果(f(x), g(x)) =1,且f(x) | g(x)h(x),那么f(x) I h(x) 推论： 如果f(x) | g(x), h(x) | g(x),且(f(x),h(x)) = 1,那么f(x)h(x) | g(x)
• 因式分解定理
  • 定义8： 数域P上次数≥1的多项式p(x)称为域P上的不可约多项式,如果它不能表成数域P上的两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积。 注意： 讨论因式分解的前提是要明确在那个数域中对其进行讨论的。一个多项式是否不可约依赖于系数域的，
  • 定理5： 如果p(x)是不可约多项式,那么对于任意的两个多式f(x), g(x), 由p(x) | f(x)g(x) 一定推出p(x)|f(x) 或者 p(x)|g(x) 因式分解及唯一性定理: 数域P上每一个次数≥1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.
  • • 标准分解式： 首项系数为1的不可约多项式。
• 重因式
• 多项式函数
  • 定理7： (余数定理)用一次多项式 x-a 去除多项式f(x), 所得的余式是一个常数 ,这个常数等于函数值f(a).
• 复系数与实系数多项式的因式分解
  • • 复系数多项式因式分解定理： 每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积
  • • 代数基本定理: 每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根。 每个次数≥1的复系数多项式,在复数域上一定有一个一次因式。
• 有理系数多项式
  • • 每个次数≥1的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约的有理系数多项式的乘积 1.有理系数多项式的因式分解的问题,可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问题,并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题 2.在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式