高数第一单元笔记

高数第一单元函数与极限，讲述了映射与函数、数列的极限、函数的极限、无穷大与无穷小、极限运算法则、无穷小的比较与交换等。

第一章 函数与极限

• 映射与函数
  • 映射，逆映射，复合映射
  • 函数
    • 性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性
    • 类型：复合函数，反函数，初等函数
• 数列的极限
  • 定义
  • 性质：
    • 唯一性：数列有极限必唯一
    • 有界性：数列有极限则一定有界，有界但不一定有极限
      • 子主题
    • 保号性：极限<0,则数列<0
• 函数的极限
  • 定义
  • 性质：唯一性，局部有界性，保号性
• 无穷小与无穷大
  • 无穷小
    • 0可看作无穷小，除0以外的任何很小常数都不是无穷小
    • 无穷小与极限的关系
  • 无穷大
    • 无穷大一定是无界函数，无界函数不一定无穷大
    • 无穷大不是很大的数
    • 无穷大函数极限是不存在的
    • 铅直渐近线
  • 无穷大与无穷小的关系：倒数关系
    • 若f(x)为无穷小，则1/f(x)为无穷大
    • 若1/f(x)为无穷小，则f(x)为无穷大
• 极限运算法则
  • 无穷小的运算
    • 有限个无穷小相加=无穷小
    • 有界函数*无穷小=无穷小（有界函数可为全部/局部有界）
    • 推论：
      • 常数*无穷小=无穷小
      • 有限个无穷小乘积=无穷小
  • 极限四则运算（前提：极限存在）
    • 推论：
      • lim【f(x)】^n=【limf(x)】^n
      • lim【cf(x)】=climf(x)
  • 对多项式
  • 对有理函数F(x)=Pn(x)/Qm(x)
    • 当x→x0时
      • Q(x)不等于0
      • Q(x）=0,P(x)不等于0
      • Q(x)=0,P(x)=0
    • 当x→无穷
  • 复合函数极限运算法则
• 闭区间上连续函数性质
  • 有界性与最大最小值定理
  • 零点定理（方程根的存在定理）
    • a.在【a,b】上连续
    • b.f(a)f(b)<0
  • 介值定理
    • a.[a,b]上连续
    • b.f(x)=C,C在f(x)的值域内,则x至少有一解
• 连续函数的运算和初等函数的连续性
  • 连续函数的四则运算法则
    • 封闭性：连续函数的运算和初等函数的连续性
  • 反函数的连续性
    • 
  • 复合函数的连续性
    • （函数u在xo处不一定连续）
    • （函数u在xo处一定连续）
    • 复杂幂指函数求极限
  • 初等函数的连续性
    • 初等函数求极限代入值
• 函数的连续性和间断点
  • 连续性
    • 连续函数一定存在极限，极限存在不一定连续
    • f(x)在x0处连续<==>f(x)在x0处左连续，且右连续，f(x)=f(x0)
  • 间断点
    • I类：可去间断点，跳跃间断点
    • II类：无穷间断点，振荡间断点
• 无穷小的比较与代换
  • 无穷小量的阶：描述2个无穷小趋向于0的快满程度
    • 若lim(β/α)=0，则称β是比α高阶无穷小
    • 若lim(β/α)=无穷，则称β是比α低阶无穷小
    • 若lim(β/α)=c(c为常数且不为0），则称β是α同阶无穷小
    • 特殊：若lim(β/α)=1，则称β是α等价无穷小
    • 若lim(β/α^k)=c(c为常数且不为0）,k>0，则称β是α的k阶无穷小
  • 定理
    • 无穷小代换的传递性
    • 
  • 常用等价代换（当x→0时）
    • 
• 极限存在准则和两个重要极限
  • 准则1：夹逼定理
    • (I){Yn}、{Zn}有相同的极限a
    • (II)有当n>N0时，其中N0∈N*，有Yn≤Xn≤Zn
  • 准则2：单调有界定理
    • 单调有界函数必有极限
      • a.单调
      • b.有界
  • 重要极限

函数与极限

• 主题
• 主题
• 主题
• 主题
  • 子主题
• 闭区间上连续函数的性质
  • 最大值与最小值定理及有界性定理
    • 最大值与最小值定理：
      • 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值
    • 有界性定理：
      • 在闭区间上的连续的函数在该区间上一定有界
  • 零点定理与介值定理
• 函数的连续性与间断点
  • 函数的连续性
    • f（x）在x。内有定义
    • lim（x→x。）f(x)存在
    • lim（x→x。）＝f（x。）
  • 函数的间断点
  • 连续函数的运算法则
  • 初等函数的连续性
• 无穷小的比较
  • 无穷小量的阶：描述2个无穷小趋向于0的快满程度
    • 若lim(β/α)=0，则称β是比α高阶无穷小
    • 若lim(β/α)=无穷，则称β是比α低阶无穷小
    • 若lim(β/α)=c(c为常数且不为0），则称β是α同阶无穷小
    • 特殊：若lim(β/α)=1，则称β是α等价无穷小
    • 若lim(β/α^k)=c(c为常数且不为0）,k>0，则称β是α的k阶无穷小
  • 定理
    • 无穷小代换的传递性
    • • 
  • 常用等价代换（当x→0时）
    • 常用等价代换（当x→0时）
• 极限存在准则 两个重要极限
  • 夹逼准则
  • 单调有界收敛准则
• 极限的运算法则
  • 极限的四则运算法则
    • 推论
      • lim【f(x)】^n=【limf(x)】^n
      • lim【cf(x)】=climf(x)
  • 复合函数极限的运算法则
• 无穷小和无穷大
  • 无穷小
    • 0可看作无穷小，除0以外的任何很小常数都不是无穷小
    • 有限个无穷小的和仍是无穷小
    • 有限个无穷小的乘积仍是无穷小
    • 无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小，特别的，常数与无穷小的乘积仍是无穷小。
  • 无穷大
    • 无穷大一定是无界函数，无界函数不一定无穷大
    • 无穷大不是很大的数
    • 无穷大函数极限是不存在的
  • 无穷小和无穷大的关系（倒数关系）
    • 若f(x)为无穷小，则1/f(x)为无穷大
    • 若1/f(x)为无穷小，则f(x)为无穷大
• 函数的极限
  • 定义
    • 函数极限的唯一性
    • 函数极限的局部有界性
    • 函数极限的局部保号性
  • 函数极限的性质
• 数列的极限
  • 定义
  • 收敛数列的性质
    • 极限的唯一性
      • （数列有极限必唯一）
    • 收敛数列的有界性
      • 有界的数列不一定收敛
      • 无界的数列一定发散
    • 收敛数列的保号性
      • 极限<0,则数列<0
  • 收敛数列与其子数列的间的关系
• 函数
  • 概念
  • 表示
    • 表格法
    • 图形法
    • 解析法
      • 显函数
      • 隐函数
      • 分段函数
  • 绝对值函数、取整函数
  • 特性
    • 有界性
    • 单调性
    • 奇偶性
  • 反函数与复合函数
  • 初等函数
    • 基本初等函数
      • 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
      • 子主题
    • 初等函数