5.线性系统的频域分析

这里面包括了频率特性、定义、模型转换、概率、幅相特性曲线、Bode图、根据图形求系统开环传递函数等。

线性系统的频域分析

• 频率特性
  • 定义：输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比。
    • tips1:线性系统输入sinωt，输出Asin(ωt+φ)。
      • 相同
        • 形式相同，输入正弦，输出也是正弦
        • 频率相同：ω
      • 不同
        • 幅值不同：A，即频率特性-幅频
        • 相角不同：φ，即频率特性-相频
    • tips2:傅里叶变换可以将任何信号转换为一组正弦信号的和。
    • 由1，2可以想到什么呢？
  • 模型转换：jω↔s↔d/dt
  • 概念：
    • 最小相位系统：系统开环传递函数没有右半平面的零点和极点
  • 图形表示
    • 幅相特性曲线（幅相曲线，极坐标图）
      • 特点：以频率ω为自变量，绘制ω从0→∞时，频率特性在复平面上的位置
        • 一个频率的频率特性是一个复数，对应于复平面上一个点
        • 频率特性可以表示为：
          • 幅频A，相频φ的组合
          • 实频Re，虚频Im的组合
      • 典型环节的幅相特性曲线
        • 比例
        • 积分
        • 惯性
        • 一阶微分
        • 振荡
        • 二阶微分
        • 延迟
      • 幅相特性曲线的绘制
        • 一般方法
          • 求出系统频率特性G(jω)
          • 求出系统幅频特性|G(jω)|与相频特性∠G(jω)
            • 令ω=0，求出曲线起点位置
              • 象限
              • 渐近线
            • 令ω=∞，求出曲线终点位置
              • 象限
              • 渐近线：进入原点的角度
            • 根据各种条件判断曲线走向
          • (如有需要)求出系统实频特性ReG(jω)与虚频特性ImG(jω)
            • 起点渐近线
              • 有?
              • 无?
            • 与坐标轴交点
              • 有?
              • 无?
            • 终点指向无穷远处时：终点渐近线
              • 有?
              • 无?
        • 最小相位系统幅相曲线绘制规律
          • 最小相位系统：开环传递函数只含有左半平面的零点和极点的系统。
          • 起点
            • 0型系统：起始于正实轴
            • 1型及以上系统：起始于无穷远处，相角为系统型别v*90⁰
          • 终点
            • 原点：入射角度为分母分子阶次之差(n-m)*90⁰
        • 特别注意：arctg值域在-π/2→π/2，单个arctg不能表示左半平面的相角，此时需要-π
          • 非最小相位系统：可能有负值需要调整象限
          • 振荡环节：跨象限需要分象限表示
    • Bode图（波特图，对数频率特性曲线）
      • 特点：幅频相频分别绘制
        • 横坐标为频率ω，单位rad/s，对数分度
          • 展宽频率范围
          • 各频段细节均能展现
          • 同倍频横向长度相同，便于作图
        • 幅频纵坐标L(ω)=20lg|G(jω)|，单位db
          • 对数取值：相乘变加减，便于作图
          • 线性分度
        • 相频纵坐标弧度或者度
      • 典型环节的Bode图
        • 比例
        • 积分
        • 惯性
        • 一阶微分
        • 振荡
        • 二阶微分
        • 转折频率
        • 延迟
      • Bode图的绘制
        • 叠加法：
          • 思路：每个系统均可看为典型环节的乘积，bode图将幅频乘除化为加减
          • 方法：
            • 拆分出所有典型环节
            • 在同一坐标系内绘制所有典型环节bode图
            • 在该坐标系内直接叠加各典型环节幅频相频的高度
        • 分段法
          • 思路：将bode图绘制近似为渐近线的绘制，bode图起始段高度只与比例环节与积分环节相关，每经过一个转折频率改变相应的斜率。
          • 方法：
            • 拆分出所有典型环节
            • 找出所有转折频率，并从低到高排列（ω₁,ω₂，┄）
            • 取ω₀≤所有转折频率，该点高度L(ω)=20lgK-20vlgω₀
              • note：v为系统型别，即开环传递函数积分环节个数
            • 过该点作直线，斜率为-20vdb/dec
            • 每经过一个转折频率，曲线斜率作相应的改变
              • 惯性：-20db/dec
              • 一阶微分：20db/dec
              • 振荡：-40db/dec
              • 二阶微分：40db/dec
          • Note
            • 坐标标识必须准确
              • 横轴一般标注10的倍数即:0.1,1,10,100....
              • 纵轴一般标注20的倍数即：-20，20，40.....
              • 转折频率计算lgω后的值与-1，0，1，2(即lg0.1,lg1,lg10)进行比较，标注到精确的位置
              • 在转折频率处垂直与横轴轻轻做出辅助线，绘制bode时，遇到这些辅助线即改变曲线斜率
              • bode图幅频曲线斜率需准确，应事先在图上轻轻绘制出所需斜率辅助线如-20,-40,-60等，绘制曲线时用平行线绘制方法从这些辅助线上取斜率。
    • 根据图形求系统开环传递函数
      • 根据bode图幅频曲线
        • 对应唯一的最小相位系统
        • 必有一个比例环节K
        • 根据起始段的斜率确定系统型别，即积分环节的个数：v=起始段斜率/20
        • 根据每个转折频率确定：
          • 对应的典型环节
            • 惯性：-20db/dec
            • 一阶微分：20db/dec
            • 振荡：-40db/dec
            • 二阶微分：40db/dec
          • 该典型环节的参数T
        • 特别注意：有些参数不会直接给出，包括K值，转折频率，某一段的斜率等。需要通过图形去推导。
      • 根据bode图
        • 必有一个比例环节
        • 根据起始段的斜率确定系统型别，即积分环节的个数：v=起始段斜率/20
        • 根据每个转折频率确定：该典型环节的参数T
        • 根据转折频率处幅频曲线改变的斜率与相频曲线确定对应的典型环节或其不稳定的形式。其幅频和相频为：
          • 。
          • Note：下述环节的相角都有可能表示为该相角+360⁰的形式。
          • 惯性环节系列1/(±Ts±1)：-20db/dec
            • 1/(Ts+1)：-arctgTω,0→-90⁰
            • 1/(-Ts+1)：arctgTω,0→90⁰
            • 1/(Ts-1)：-180⁰+arctgTω,-180⁰→-90⁰
            • 1/(-Ts-1)：-180⁰-arctgTω,-180⁰→-270⁰
          • 一阶微分(±τs±1)：20db/dec
            • τs+1：arctgτω,0→90⁰
            • -τs+1：-arctgTω,0⁰→-90⁰
            • τs-1：-180⁰-arctgτω,-180⁰→-270⁰
            • -τs-1：-180⁰+arctgτω,-180⁰→-90⁰
          • 振荡：-40db/dec
          • 二阶微分：40db/dec
      • 根据bode图与幅相特性曲线
        • bode图部分参照前述，获取系统环节
        • 幅相特性曲线部分给出的条件一般包括:渐近线，相角从起点到终点的变化，与坐标轴的交点，或其他特殊点。
• 奈氏判据
  • 判据：Z=P-N
    • P：系统开环传递函数右半平面极点的个数。
    • N：系统奈氏曲线围绕(-1,0)点逆时针旋转的圈数
      • 幅相特性曲线0+→+∞
      • +∞→-∞：一般来说同一个点
      • 幅相特性曲线-∞→0-：和0+→+∞关于实轴对称
      • 0-→0+：顺时针补弧vπ
      • Note：如果系统开环传递函数出现虚轴上其他极点，处理方法与出现积分环节相似。即在原平面s=±jω处作无穷小的弧绕过该点。同时在GH平面补无穷大的弧。
    • Z：系统闭环传递函数右半平面极点的个数
  • 正负穿越：N=正负穿越之差
    • 正穿越：奈氏曲线从上向下穿越-1→-∞段实轴
    • 负穿越：奈氏曲线从下向上穿越-1→-∞段实轴
    • 半次正穿越：奈氏曲线从-1→-∞段实轴向上移动
    • 半次负穿越：奈氏曲线从-1→-∞段实轴向下移动
    • 奈氏曲线画一半时才会出现，此时:Z=P-2N
  • Bode图下奈氏判据
    • 对应关系
      • 幅相曲线单位圆对应Bode图0db线
      • 幅相曲线负实轴对应Bode图-180⁰线
      • -1→-∞段实轴对应Bode图相频曲线-180⁰线中幅频在0db线上的部分
      • N=正负穿越之差
        • 正穿越：bode相频曲线从下向上穿越Bode图相频曲线-180⁰线中幅频在0db线上的部分，即相角增大方向。
        • 负穿越：bode相频曲线从上向上下穿越Bode图相频曲线-180⁰线中幅频在0db线上的部分，即相角减小方向。
    • Note：幅相曲线无穷大弧的部分需要从0⁰开始补全
• 稳定裕度
  • 幅值穿越频率：
    • 解析法：
    • bode图法：绘制bode图，作图求出与0db线交点的位置。一般来说通过三角形求出曲线高度=曲线起始段某点高度。
  • 相角裕度：
  • 相角穿越频率：
    • 解析法：
    • 试凑法：确定有效数字，逐渐逼近。
  • 幅值裕度：
  • 裕度大于0时系统稳定，小于0时系统不稳定，等于0时系统临界稳定。
  • bode图上求裕度：
    • 相角裕度：bode图幅频特性与0db线相交时，相频特性离-180⁰线的距离。在该线上相角裕度γ>0。
    • 幅值裕度：bode图相频特性与-180⁰线相交时，幅频特性离0db线的距离。在0db线下幅值裕度kg>0.