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高等数学下
高等数学下知识整理，包括：微积分计算、被积函数概念和函数图像等内容。
编辑于2021-10-30 20:34:20- 高数下
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微积分计算-转得过来、求原函数
P(x%2cy)为α终边上非O的任意一点
r=|OP|=√(x^2+y^2)
正割：secα=r/x x≠0 secα=1/cosα
余割：cscα=r/y y≠0 cscα=1/sinα
被积函数——原函数+C
 可以训练看到背景函数就想到原函数 原函数(+C)：但是做可分离变量的时候,一般是右边加c就行了,而且一般写为C1【也有可能是配合lnC1之类的】后面有可能还要变换一次常数
一般这种分母是式子的,你先用ln，再根据复合函数看一看
三角函数
其他函数
剩下的就是各种复合函数
并不常用

像这种复合函数为kx的，原函数就乘以k/1，唯一的话就乘以-1
常见的
原来的符号系数都是看最先的，后面的都是看指数减掉一之后的 以此区别 加1再取1/k
小反应
子主题
主题
3 不定积分法
第一类换元积分法
提进去
第二类换元积分法
复合算出来
没有新元进入·，就是老基友互换
分部积分法
分开部分·再重新组合
整理
概念及表示方法
显函数
自变量与因变量已经明显分离的函数称为“显函数”
隐函数
自变量与因变量没有明显分离或无法分离的函数称为“隐函数“
分段函数
绝对值函数
序号函数
狄利克雷函数
取整函数
定义域D（f）
分式：分母化
偶次根式：被开方数>=0
对数：真数>0
正切函数：
复合函数与反函数
复合函数
在由y=f（u）与u=g（x）组成的复合函数中，u的值域要等于y的定义域
反函数
设函数y=f(x)的定义域是D（f），值域是Z(f）。如果对于每一个y∈Z（f），都有唯一确定的x∈D（f）与之对应，则它的反函数为
求反函数：1. 解x（用y表示）；2. x，y互换
原函数与反函数的定义域与值域相反
（基本）初等函数
常值函数
C
幂函数

指数函数

对数函数

换底公式

对数恒等式


三角函数
正割函数

余割函数

反三角函数
arc
图像
定积分
基本特性
单调性
有界性
|f(x)|≤M
奇偶性
周期性
图像的变化
对数函数
ln
子主题
微分方程
1 一阶微分方程
concept
变量可分离微分方程
齐次微分方程
训练营
我就说嘛这个u本来就是复合函数我肯定是x的函数啊带进去
概念纠缠
都是一样的，这个就是为了适应后面的那种计算
微分和导数是什么关系
两个未知数的隐函数他们的整体求导du对应的还是dx
但是从更严格的数学定义来bai说，导数的定义是：当自变量的变du化趋zhi于零时，函数值的变化与自变量的变化的比值的极限。因而导数可以理解为“函数的微分与自变量的微分之商”（这里“函数值的变化、自变量的变化”分别理解为“函数的微分、自变量的微分”）。
都不是两个
常数操作
一般是右边加c就行了,而且一般写为C1【也有可能是配合lnC1之类的】后面有可能还要变换一次常数
大多数是负号的你常数加个负号，以便一起消除负号
二次变换常数
概念类
判断阶数
判断是否为微分方程的解
Y=
两个方程
初始条件
求通解
由此可是微分方程的通解不一定要写成y等于fx的形式
也就是通过分离再积分然后常数等于那个接数的方程就是了
求特解
只求特警还是要消掉那个节数的，直接带进去显然不行
一阶非齐次线性微分方程258
定义
与齐次微分方程就是样子上不同吧
通解
一阶齐次线性微分方程【Little】
定义
通解
伯努利微分方程【数学一要求】
定义
通解
全微分方程【数学一要求】
定义
通解
2 可降阶的高阶微分方程【数3不要求】266
没有y次与下面的区别快速看出来
每记一次分导数小掉一个
一般操作
公式
就不必要化成下面那个了因为它可以用公式了
有x的就要用公式啊
都是y次=p，都有三个
没有x的就用分离呀
dydx是为了让p出来，dpdy也一样，都是为了好分离
4 二阶常系数线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
三个加两个
y相当于一，阶数相当于r的平方
就是指数形式
就是C2多了个x
二阶常系数非齐次线性微分方程
3 二阶线性微分方程
定理 1
定理 2
定理 3
定理 4 (叠加原理)
5 n阶常系数齐次线性微分方程
6 欧拉方程
7 差分方程
差分
定义
差分方程
定义 1
含有未知函数yt的差分的方程称为差分方程，差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶。
定义 2
满足差分方程的函数称为该差分方程的解，如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解为该差分方程的通解。
齐次差分方程
非齐次差分方程
f(t)=b为常数
f(t)为一般情况
空间解析几何与向量代数
向量运算及其性质
向量的运算
运算性质
相同的有三个，就是向量积满足反交换律
子主题
向量之间的关系
按照三角函数来判断
子主题
平面方程
3点确定一个面
子主题
平面的一般方程系数对应的平面
D=0
过原点
平面经过x轴或者y轴或者z轴都是过原点
A或者B或者C=0
平面平行于x轴或者y轴或者z轴
平行于什么面:实际上是平行那两条轴
对应的系数为0
平面平行或重合于xoy平面
A=B=0
思考方法是将平面的一般方程代入ab，c得出来的柿子加以考量
P 11例题
Y等于kx加b，这样只是z轴的数值发生改变
Y等于kx
式子里面的xyz发现改变也是对应的
空间直线方程

对称式
下面是方向向量，如果这个方程是一条切线那么它的方向向量也叫做切向量
分别用x、y来表示z
平面束方程
曲面方程
子主题
子主题
二次曲面
空间曲线方程
子主题
夹角
子主题
子主题
如果是COS的话垂直都是何为0，平行都是成比例,sin的话刚好相反，与面相计算都是用它的法向量
点到...的距离
子主题
子主题
多元函数积分学

二重积分
二重积分的定义
子主题
体积=高X底面积
当f(x,y)≥0时， 表示由曲面f(x,y)与其在区域D上的投影面所围区域的体积
当f(x,y)≤0时， 表示由曲面f(x,y)与其在区域D上的投影面所围区域体积的负值
二重积分的性质
几何意义
曲顶柱体
物理意义
f(x)是面密度，求质量
对称性
积分区域关于x=0对称， 则 被积函数是x的奇函数 →积分值为零 被积分函数是x的偶函数→积分值为正区域(x>=0)积分值两倍
子主题
计算
利用直角坐标计算二重积分
直角坐标法:后积先定限 限内画条线 先交为下限，后交为上限
先x后y
先y后x
利用极坐标计算二重积分

子主题
什么时候用
积分区域为圆,环，扇域
题型
概念类
根据积分区域和被积表达式比较积分的大小P 96
计算被积表达式的最大值最小值，一个是线性函数，三角函数，配方其他平方函数
积分区域唯一
积分区域不唯一
在最大最小值的基础上再乘以积分区域
子主题
实战
子主题
子主题
三重积分121
定义
性质
概要
计算
直角坐标
如果积分区域是正方体、长方体或他们的一部分时 ，用直角坐标系。
先一后二
z为函数，投影z就消去了
先二后一
z为常量，截面z还有范围
参考题
柱面坐标
0 ≤ r < +∞,
0 ≤φ≤ 2π
-∞<z<+∞
什么时候用
如果积分区域是圆柱、圆柱的一部分或被积函数中含有x^2+y^2或y^2+z^2或z^2+x^2时 ，用柱面坐标系；
球面坐标
θ是平行于xoy面，绕着z轴旋转的角0 ≤ θ ≤ 2π φ是从z正轴绕到z负轴的角0 ≤ φ ≤ π

什么时候用
一般来说，如果积分区域是球、球的一部分 或 被积函数中含有x^2+y^2+z^2时 ，用球面坐标系
能用球坐标的必能用柱坐标 但当积分域为马鞍面时，球坐标就用不着了。 分为被积函数和积分区域两部来看两个指标
被积函数中含有x^2+y^2或y^2+z^2或z^2+x^2时，可用轮换对称性变成2|3（x^2+y^2+z^2），然后用球坐标系做。
实战
是一个曲面，空间椭圆
这个肯定在下面
如果x为0的时候y有可能很小,就是说可变量的表达式比那个确定常量有小的可能所以他在下面 谁在上面谁在下面，对于正负问题是无需多思的
啊那就是积分区域和形状的距离，第1个c塔就是积分区域的角度，第2个发卡码就是里面与那个高的角度，球、球、球
题型
曲线积分与曲面积分
对曲线还是对曲面，曲线的话是弧长还是坐标曲面的话是面积还是坐标
曲线积分
二重
对弧长的曲线积分

定义
性质
对坐标的曲线积分

定义
 也是两个分开相加啊
性质
计算
ds表示弧微分，根据参数函数和一般函数有两种不同的计算方法
y是x的函数
 设L为连接(1，0)与(0，1)两点的直线段，则fL(x+y)ds： 方法一: (1,0)到(0,1)的线段方程为:y=1-x，du0≤x≤1 由弧微分公式:ds=√(1+y')dx=√(1+1)dx=√2dx 因此: ∫(L)(x+y)ds =∫[0→1](x+1-x)√2dx =√2∫[0→1]1dx=√2 方法二: 用L的方程化简被积函数，L方程为:x+y=1 原式=∫(L)1ds=√2 (被积函数为1，积分结果为曲线长度，本题线段长度为:√2

y是x的函数
子主题
格林公式
两类曲线积分的关系
曲面积分
三重
对面积的曲面积分

定义
性质
对坐标的曲面积分

定义
 这不就是把他们分开吗
性质
计算


两类曲面积分的关系
高斯公式及其应用
高斯公式
散度
高斯公式的向量形式
斯托克斯公式及其应用
斯托克斯公式
旋度
斯托克斯公式的向量形式
曲面形物体的转动惯量和引力
重积分的应用
重积分的几何应用
平面图形面积
曲面面积
空间立体的体积
重积分的物理应用
质量
物体的重心坐标
转动惯量
物体对质点的引力
多元函数微分学
偏导数
高阶偏导数
现在某某求偏导再把求出来的式子对另一个一个求偏导
全微分
概念间的关系
 自己画着记一记
可微的必要条件
可微的充分条件
方向导数
方向导数求法
已知点
Cos值
梯度
函数沿梯度（2,-2,1）方向变化最快 方向导数=│梯度│=3//梯度是个方向向量它的模等于方向导数
多元极限
狭义上： 极限无穷大 是 极限不存在 的一种情况。 左右极限不相等 也是 极限不存在 的一种情况。 在正负无穷之间来回震荡 是 另一种极限不存在的情况。 总结一下： 第一类间断点（左右极限值都存在）： 可去间断点（左右极限值相等但该点无定义）在该点处 有 极限，左右极限值即为在该点的极限值。 跳跃间断点（左右极限都存在但不等）在该点 无 极限。 第二类间断点（左右极限值至少有一个不存在）： 无穷间断点（在该点处左右极限至少有一个为无穷大）在该点处极限值为无穷大 震荡间断点（在该点处无定义且函数值在趋向该点时在某个区间内来回震荡） 在该点处 无 极限 广义上： 极限无穷大 是 极限值收敛于无穷。 但左右极限不等、震荡仍判定为极限不存在。 一般的题目中： 如果涉及 极限不存在 和 极限无穷大 之间的互推，只要拿出震荡间断点或者震荡函数来验证一下就好了，比方说 \lim_{x \rightarrow 0}{sin 1/x} 楼主的问题，如果细细追问下去，一方面会大有感触， 另一方面会成为众矢之的。 下面沿着楼主的问题，稍微引申一下，楼主看看感觉如何？ 1、我们说，极限存在的条件是：左右积分分别存在，并且还得相等。 否则，我们就铁口神断：极限不存在。 根据上面的说法，单侧极限，根本不是极限，不算极限存在！ 极限如果存在，一定是左极限、右极限，各自存在，并且相等。 那问题来了： 广义积分、暇积分的结果，都是单侧极限，算不算极限存在？ 我们自打耳光，前倨后恭、始乱终弃，如何下台？ 2、极限的结果是无穷大，无论正负，我们都说不存在。 既然不存在，为什么鬼子的习惯是写 D.N.E. = Do Not Exist = 不存在。 为啥我们经常写成 lim 、、、= ∞，既然等于无穷大，为何又说不存在？ 既然不存在，为何又用等于号？ ∞ ，不是一个确定的数，在不定式中，一共有七种。一旦断定结果是∞， 我们就是它是定式 = determinable form。 问题又来了： ∞ 究竟是定式，是客观存在？还是不定，不是客观存在？ 还有更糟糕的问题来了： 无穷大不是客观存在？空间每处的某一物理量都是无穷大，在这样的场中， 无穷大之差有没有物理意义？没有？那电磁场理论刚刚被改写？ 、、、、、、、 类似的问题俯拾皆是，这里反映了三个问题： 第一、理论的自洽问题，尤其是经过汉译以后，能否保持原有的自洽？ 第二、我们教师的个人学风、人生修养，是否能称得上是灵魂工程师？ 第三、教师的知识面，尤其是数学物理方法论，是不是多属滥竽充数？ . 不多写了，再写下去，将会死无葬身之地。
基本
两种情况：1、数列的极限等于0,也就是整个数列的数字逐渐趋向于0.2、整个数列到后面全部都是0,完完全全地等于0.这两种都是无穷小,极限都存在 极限等于无穷大的时候极限不存在.但是写的时候可以写成它等于无穷大.这只是一种写法.你心里面要知道极限其实不存在 极限是正无穷时候 极限不存在 因为有确定上界的函数才有极限 无穷大不是确定上界 所以极限不存在 比如说 1/n n趋近0时候 函数值是正无穷 不是极限 但可以借用极限的形式来表示 即 lim 1/n=∞ n→0 只是可以这样表示 但是此函数极限并不存在
代入值
无法判定的
不存在和存在的所有加减乘除除了不一定就是不存在，要么可以除出来要么可以导数在里面除
不存在的
等于正无穷
存在的
扥与一个常数不是正负常数
一元
基本极限
等价无穷小啊
子主题
洛必达
一的正无穷，导数的极限等于0
趋于的速度
正无穷
负无穷
训练营
根号有理化
多元函数的极值和条件极值
二元函数极值
定义
定理
两个地方反过来了
利用一些导数画出极值就行了
其实拐点并不能确定他的极值就知道那只是反应的导数，这个二阶偏导就可以 驻点为导数为零的点，不一定为极值点，拐点是导数的驻点 拐点：使函数凹凸性改变的点 驻点：一阶导数为零。
条件极值
一个约束条件的极值
两个约束条件的极值
隐函数求导法
一个方程
F（xy）求导数
F（xyz）求偏导
方程组
总共求的就只有那4种情况，就是看上面那一朵下面都是一样的 跟我那个顺序是没有区别的，注意是-1/J
复合函数微分法
都是dz，两条路及以上的的是偏导一条路的是导数
注意要有这个形式
二元函数的泰勒公式
几何应用62
三导三偏导切平面法平面
曲面z=f(x,y)关于x的偏导数从几何bai上看是其在x轴方向的斜率关du于y的就是y轴上斜zhi率由此可解出在（x0,y0）点的切平面方程，dao即：g(x,y)=f(x0,y0)+(x-x0)fx+(y-y0)fy (式中fx,fy指得是偏导数)
曲面求法向量【切平面的法向量】
是f(x y z)分别对x，y，z 求偏导
曲线求切向量
是参数方程对参数 求导
标注
无穷级数
级数的概念与性质
定义
性质 1
性质 2
注
若一个收敛，一个发散，则和一定发散。
子主题
性质 3
改变前有限项不影响级数的敛散性
性质 4
收敛级数加括号仍收敛，且和不变
注
一个级数加括号后收敛，原级数不一定收敛；一个级数加括号后发散，则原级数一定发散。
性质 5
推论
收敛不一定极限等于0，极限等于0一定收敛不等于0发散
级数的收敛准则
正项级数
定理 1
定理 2 (比较判别法)
若0≤un≤vn，则
定理 3 (比较判别法的极限形式)
定理 4 (比值判别法)
定理 5 (根值判别法)
交错级数
定理 (莱布尼茨判别法)
任意项级数
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛，比条件收敛的要求条件要高。先判断它的绝对值是收敛还是发散，如果绝对值是收敛，那他就就是绝对收敛；是发散的话再判断它没有绝对值的是收敛还是发散，收敛就是条件收敛，发散的话就什么也不是。【判断了两次都不是发散你当然什么都不是】
收敛就是绝对收敛；发散加收敛就是条件收敛；发散加发散什么都不是
绝对收敛与条件收敛的一些基本结论
冥级数

3 函数项级数和幂级数
函数项级数、收敛域与和函数
定义 1
定义 2
泰勒级数
幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域
定义 1
定理 1 (阿贝尔定理)
定义 2
定理 2
定理 3
和函数
逐项可导性逐项可加性
子主题
注
计算
函数的幂级数展开式
麦克劳林级数
泰勒级数的收敛定理
常用的麦克劳林展开式
应用会遇到的x+...之类的公式
题型
y=1/x+1展开成x-1的幂级数 令t=x-1 则x=t+1 y=1/(t+1+1)=1/(2+t)=0.5/(1+t/2) =0.5[1-t/2+t²/4-t^³/8+.] 这就是关于x-1的幂级数 追问： 我算的结果值1/2∑(-1)^n * (x-1/-2)^n不知道对不，泰勒展开试 追答： 去掉一个符号就对了：1/2∑(-1)^n * ((x-1)/2)^n 一个题目可以用麦克劳尼展开式也可以用泰勒展开式
傅里叶级数
概念
以2l为周期的傅里叶级数
傅里叶系数
定理 (收敛定理)
圆柱、球、两个平方、三个平方
中心主题

主题
主题