函数与极限

这是一篇关于函数与极限的思维导图，知识内容有函数的性质、连续性与间断点、数列极限、函数极限、求极限方法等。

函数与极限

• 函数
  • 性质
    • 有界性
      • 如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。
      • 如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。
      • 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
    • 单调性
    • 奇偶性
      • 偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数。
      • 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数。
    • 周期性
      • 若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
  • 连续性与间断点
    • 函数连续性的定义: 设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。 若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。
    • 间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。
  • 闭区间上连续函数的性质
    • 有界性与最大值和最小值定理
      • 若函数在闭区间【a，b】上连续，则在【a，b】上有界。
      • 若函数在闭区间【a，b】上连续，则函数在【a，b】上有最大值和最小值。
    • 零点定理
      • 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号(即f(a)× f(b)<0)，那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ<b)使f(ξ)=0。
    • 介值定理
      • 设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间端点处取值不同时，即：f(a)=A,f(b)=B,且A≠B 。那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在闭区间[a,b]内至少有一点ξ，使得 f(ξ)=C 。
• 极限
  • 数列极限
    • 设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。
  • 函数极限
    • 设函数f(X)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0＜|x-x。|＜δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|＜ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x趋于x。时的极限。
  • 求极限方法
    • 两个准则
      • 夹逼准则
      • 单调有界准则
    • 两个重要极限
      • sinX/x →1（ x→0 ）
      • (1+1/x)^x→e^x（ x→∞）
    • 极限运算法则
      • 有限个无穷小之和也是无穷小
      • 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
      • 有限个无穷小的乘积是无穷小
      • 复合函数的极限运算法则
    • 等价无穷小的代换
      • 当X→0时
        • sinx~x
        • tanx~x
        • arcsinx~x
        • 1-cosx~1/2x^2
        • tanx-sinx~1/2x
        • e^x-1~x ……
    • 利用连续性求极限
• 第一类间断点
  • 可去间断点
  • 跳跃间断点
• 第二类间断点
  • 无穷间断点
  • 振荡间断点