行列式导图笔记

行列式导图笔记，涉及的内容有行列式的定义、行列式的性质、行列式的计算、矩阵乘积的行列式、拉普拉斯展开定理、克拉默法则。

行列式

• 定义
• 性质
  • 行列式按任一行展开，其值相等
  • n阶某两行对应元全相等，则行列式为0
  • （行列式的初等变换
    • 将A的某一行乘以数k得到A1，则detA1＝k(detA)
    • 将A的某一行的k(k≠0)倍加到另一行得到A2，则detA2＝detA
    • 交换A的两行得到A3，则detA3＝-detA
  • 设A为n阶矩阵，则det(Aт)=detA
• 计算
  • 化三角行列式
  • 按零多的行展开法
  • 加边法
• 矩阵乘积的行列式
  • 方阵A可逆的充要条件为detA≠0
  • 设A、B为n阶矩阵，则det(AB)=(detA)(detB)
• 拉普拉斯展开定理
  • 在行列式D中任取k(1≤k≤n-1)行(列)，由这k行(列)元所组成的一切k阶子式分别与它们的代数余子式的乘积之和，等于行列式D
  • 基本结论：
• 克拉默法则
  • 伴随矩阵：
  • 定义：设A可逆，则AX＝b的唯一解为：xj＝detAj/detA，(j＝1,2,...,n)
• detA^(-1)=1/detA
• 设Ai(i＝1,2,...,t)为n阶矩阵， 则det(A1A2...At)=(detA1)(detA2)…(detAt)
• 推论
  • 若行列式的某一行全为零，则行列式等于零
  • 若行列式某两行对应元成比例，则行列式等于零
  • 设A为n阶矩阵，则(detkA)=kⁿ(detA)
  • 奇数阶反对称矩阵的行列式必为零