行列式

行列式思维导图，包括行列式的定义、性质、计算三部分内容，适用于考前复习，也可以综合其他资料使用。

行列式

• 按行（列）展开
  • 余子式Mij
    • 代数余子式Aij
      • Aij=（-1）i+j Mij
  • 定理三：详见书P51
  • 范德蒙德行列式 ∏（ai-aj） (1<j<i<n)
    • 结论：画个十字，右上为零，左上×右下
  • 技巧：构造新的行列式以求出结论
• 行列式的计算
  • 矩阵
    • 实数 实矩阵
    • 复数 复矩阵
    • 某数域 某数域上的矩阵
    • 本质：数表
    • 注：行等于列的矩阵为n阶方阵
    • 行阶梯形矩阵
      • 一阶一行，线下全为零。
      • 竖线后是非零行的第一个非零元素
• n阶行列式
  • 注意正负号和行列式与绝对值的理解
  • 性质
    • 1.行列互换，行列式不变
    • 2.某行某列元素的公因子可提到行列式符号之外
    • 若行列式某行（列）元素都是两数之和，则可按此行（列）拆成两个行列式
    • 对换行列式的两行（列）行列式反号
    • 若行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零
    • 某行列各元素乘同一个倍数，再加到另一行列对应元素，行列式不变。
• 简单行列式
  • 二次行列式
  • 三次行列式
• 排列
  • n阶排列
    • 例：2431为四阶排列
  • 顺序、逆序
  • 逆序数
    • 一个排列中逆序的总数，记：τ（j1j2...jn）
  • 奇偶排列
    • 定义：逆序数为奇/偶的排列
    • 定理;1.经过一次对换，奇排列变偶排列
• 主题
• 克拉默法则
  • 定理4：书P55
    • 1.方程数等于未知量数
    • 2.行列式不为0
    • 推论：若线性方程组无解或有两个不同解，则他系数矩阵的行列式必为0
    • 三结论
      • 1.方程组有解
      • 2.解是唯一的
      • 3.解由公式x=Dn/D给出
    • 齐次线性方程组：常数项全为零的线性方程组。
  • 定理5：如果齐次线性方程组的系数矩阵的行列式|A|不等于0，那么他只有零解→如果方程组有非零解，那么必有|A|=0