随机事件及其概率

概率论与数理统计之随机事件及其概率笔记，包括随机变量的定义、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量函数的分布等内容。

第二章 随机事件及其概率

• 2.1随机变量
  • 随机变量定义
    • 设随机试验E的样本空间为S，若对于任意样本点ω∈S，都有唯一实数X(ω)与之对应，则称X(ω)为随机变量，简记为X.
      • 随机变量是定义在样本空间上的单值函数
      • 具有随机性
      • 随即实验结果的出现具有一定的概率
  • 分布函数
    • 定义
      • F(x）=P{X ≤x}，x ∈R
        • 设X为一个随机变量，x是任意实数，称事件{X ≤x}发生的概率为随机变量X的分布函数
    • 性质
      • 单调不减
        • 对于任意实数
      • 有界性
      • 右连续
• 2.2离散型随机变量
  • 定义
    • 样本空间有限个或无限可列个随机变量称为离散型随机变量
  • 离散型随机变量X的分布律
    • 性质
      • 非负性
      • 规范性
  • 常见离散型随机变量及其分布律
    • 两点分布
      • 可看成单次伯努利实验
    • 二项分布X~B(n,p)
      • 可看成多次伯努利实验
    • 泊松分布X~P(λ)
      • k=0,1,2…；常数λ>0
      • 泊松定理
        • 若n↑会导致p↓，则
• 2.3连续型随机变量
  • 连续型随机变量及其概率密度
    • 定义
      • 设F(x)=为随机变量X的分布函数，若存在非负可积函数f(x)使得对于任意实数x有：(则f(x)为Ｘ的概率密度函数）
    • 性质
      • 非负性f(x) ≥0
      • 规范性
      • 若f(x)在点x处连续，则有F '(x)=f(x)
      • 对于任意实数a都有P{X=a}=0
  • 常用连续型随机变量
    • 均匀分布X~U(a,b)
      • 概率密度
        • 分布函数
    • 指数分布X~E(λ)
      • 概率密度
        • 分布函数
    • 正态分布X~N(μ,σ²)
      • 分布函数
      • 性质
        • 连续性
          • f（x）的定义域为（-∞，+∞），其图形是分布在第一、二象限内的一条连续曲线
        • 对称性
          • f(x)的图形以x=μ为对称轴的曲线，即对任意实数h>0，有
        • 有界性
        • 拐点
          • 当x=μ ±σ时，曲线有拐点
        • 渐近线
          • y=0为f(x)的水平渐近线
        • 参数μ
          • μ为位置参数 σ为尺度参数
      • 标准正态分布X~N(0,1)
        • 分布函数
        • 概率密度
        • 正态分布标准化：
        • 性质
          • Φ(-x)=1-Φ(x)
          • P{l X l ≤ x}=2Φ(x)-1
          • P{X > x}=1-Φ(x)
          • P{a≤X≤b }=Φ(a)-Φ(b)
          • Φ(0)=1/2
• 2.4随机变量函数的分布
  • 离散型随机变量
    • Y也是离散型，此时只需要根据分布律写出P{Y=g(xk)}=pk
  • 连续型随机变量
    • 定理1 设随机变量X的具有概率密度,其中-∞＜x＜+∞，又设函数g(x)处处可导，且恒有g'(x)＞0（或恒有g'(x）＜0），则称Y＝g(X)是随机变量，其概率密度为
    • 定理2 设随机变量 X~N(μ,σ²).X的性涵数Y=aX+b (a≠0)也服从正分布.