高数第四章笔记

高数第四章微分中值定理与导数的应用，内容有四大微分中值定理、洛必达法制、泰勒公式、弧微分与曲率、曲线的渐近线等。

第四章 微分中值定理与导数的应用

• 四大微分中值定理
  • 罗尔中值定理↓推广
    • ←费马引理
  • 拉格朗日中值定理→ ↓推广
    • 泰勒中值定理
  • 柯西中值定理
• 洛必达法制
  • 七种未定式
    • 0/0
    • ∞/∞
    • 0×∞
    • ∞-∞
    • 1的∞次方
    • ∞的0次方
    • 0的0次方
    • 变形成为0/0或∞/∞
  • 数列极限→函数极限
    • 海涅定理
• 泰勒公式
  • n次泰勒多项式
  • 两种余项的泰勒公式
    • 带有拉格朗日型余项
    • 带有佩亚诺型余项
  • 麦克劳林公式
    • 五大常用函数
      • e^x
      • sinx
      • cosx
      • ln(x+1)
      • 1/(1-x)
  • 函数的高阶多项式逼近
• 函数单调性与凸性 极值与最值的求解
  • 极值点
  • 拐点
  • 单调区间
  • 凸性区间
  • 函数作图
• 弧微分与曲率
  • 弧微分
    • 四种形式
      • y=f(x) ds=[√1+(y')²]dx
      • x=⨚(x) ds=[√1+(x')²]dy
      • x=x(t),y=y(t) ds=[√(x')²+(y')²]dt
      • 极坐标
  • 曲率
    • ∆s→0 k=∆ɑ/∆s
    • 曲率圆
      • r=1/k
  • 曲率圆的应用
• 曲线的渐近线
  • 铅直渐近线
    • ↔
      • 无穷间断点
  • 水平渐近线
    • ↔
      • x→∞
  • 斜渐近线
    • ↔
      • x→∞ a=f(x)/x,b=f(x)-ax
  • 按顺序求解
• 微分
• 导数
• 基础